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调和级数最新视觉报道_调和级数为什么发散(2024年11月全程跟踪)

内容来源：冲顶技术团队所属栏目：热点更新日期：2024-11-28

调和级数

级数收敛与发散的判断方法 𐟓š 常数项级数的定义与性质常数项级数就是每一项都固定的级数。它的收敛性可以通过一些方法来判断。等比级数如果等比级数的公比q的绝对值小于1，那么这个级数是收敛的。收敛的和可以用公式S_n = a / (1 - q)来计算。正项级数的判敛方法收敛原则：如果级数{S_n}有界（即单调不减且有上界），那么这个级数是收敛的。比较判别法：找另一个级数进行比较，如果从某一项起，这个级数大于等于原级数，那么原级数是收敛的；如果小于原级数，那么原级数是发散的。比较判别法的极限形式：找另一个级数，上下放求极限，如果极限趋于0，那么原级数是收敛的；如果极限趋于无穷，那么原级数是发散的；如果极限等于常数，那么原级数的敛散性不确定。比值判别法：后项比前一项，再求极限，极限小于1，收敛；大于1，发散；等于1，不定。根植判别法：开n次方根，再求极限，极限小于1，收敛，大于1发散。如果开N次方后不求极限直接能看出大于等于1，则一定发散。积分判别法：找一个单调减少的非负连续函数F(x)，使得un = F(n)，做反常积分，与级数同敛散。交错级数莱布尼兹判别法： un的极限趋于0 un单调不增（后项比前项；后项减前项；令为F函数求导）调和级数发散，但交错调和级数收敛。任意项级数加绝对值，用正项级数判敛法则。绝对收敛：加绝对值收敛，级数也收敛。条件收敛：级数收敛，加绝对值发散。幂级数求和un(x - x0)^n形式，和泰勒展开有联系。要求收敛区间和收敛域（用阿贝尔定理）。收敛域的求法：不缺项的幂级数：加绝对值，用比值或根植法，R = 1/p（极限存在），或∞（极限为0），或0（极限不存在）。缺项的幂级数：先加绝对值；再用正项级数比值或根植（要把x^n带上），令p小于1，得到关于X的定义域，即收敛域。 Ps：收敛半径不变，收敛域或因求导缩小；或因积分扩大。幂级数的和函数在收敛条件下，有数乘、倍加等线性性质；整个计算过程记得先标收敛域。计算手段：拆开成两个级数相乘的形式（涉及恒等变形，使两个级数通项幂次数相等、下标相同）。重要展开式

高等数学第十二章总结：无穷级数 𐟓š 等比级数和调和级数 𐟔 收敛级数的基本性质性质12345 𐟔 柯西审敛原理 𐟔 常数项级数的审敛法 𐟦” 正项级数的敛散性 ॱଳ혠比值审敛法 ॱଳ혠极值审敛法 ॱଳ혠比较审敛法 ॱଳ혠积分判别法 ॱଳ혠比较审敛法的极限形式 𐟦” 交错级数及其审敛法 ॱଳ혠莱布尼茨定理 𐟦” 任意项级数与绝对收敛、条件收敛 𐟔 幂级数 ॱଳ혠收敛半径和收敛域 ॱଳ혠幂级数的性质 𐟔 函数展开为幂级数 𐟔 傅里叶级数 ॱଳ혠三角级数的正交性 ॱଳ혠函数展开成傅里叶级数 ॱଳ혠正弦级数和余弦级数 ॱଳ혠一般周期函数的傅里叶级数

无穷级数收敛性测试全攻略探索无穷级数的收敛性，我们有一系列强大的工具和方法。以下是一些关键的测试和技巧，帮助你理解并解决无穷级数的问题。 1️⃣ 数列极限的属性 𐟓ˆ 了解数列极限的存在性和性质，是研究无穷级数的基础。 2️⃣ 绝对值定理 𐟓 绝对值定理为我们提供了判断级数收敛性的有力工具。 3️⃣ 单调与有界数列 𐟓Š 单调性和有界性是判断级数收敛性的两个关键条件。 4️⃣ 无穷级数 𐟓ˆ 无穷级数的定义和性质，是理解级数收敛性的起点。 5️⃣ 望远镜级数 𐟔튦œ›远镜级数的特殊形式，帮助我们更好地理解级数的结构。 6️⃣ 无穷等比级数 𐟓‰ 等比级数的收敛性是无穷级数理论中的重要部分。 7️⃣ 散度和收敛性的第n项检验 𐟔 通过检查级数的第n项，我们可以判断级数的收敛性。 8️⃣ 积分检验法 𐟓ˆ 积分检验法是一种通过积分来测试级数收敛性的方法。 9️⃣ p级数 𐟓Š p级数的收敛性是无穷级数理论中的重要课题。 𐟔Ÿ 调和级数 𐟎𖊨𐃥’Œ级数的收敛性是数学分析中的重要问题。 1️⃣1️⃣ 交错级数 𐟔„ 交错级数的收敛性可以通过一系列的测试来验证。 1️⃣2️⃣ 交错级数的误差 𐟔 交错级数的误差估计，帮助我们更精确地理解级数的收敛性。 1️⃣3️⃣ 绝对收敛与条件收敛 𐟓 绝对收敛和条件收敛是无穷级数理论中的两个重要概念。 1️⃣4️⃣ 直接比较测试 𐟓Š 直接比较测试是一种通过比较级数项来测试收敛性的方法。 1️⃣5️⃣ 极限比较测试 𐟔 极限比较测试是另一种通过比较级数项来测试收敛性的方法。 1️⃣6️⃣ 比率测试 𐟓‰ 比率测试通过比较级数项的比率来测试收敛性。这些工具和方法将帮助你更好地理解和解决无穷级数的问题。掌握这些技巧，你将能够更自信地面对各种级数收敛性的挑战。

调和级数：快速辨别敛散性的秘诀 𐟓š 调和级数是一种常见的数学级数，理解它的基本特征可以帮助我们快速辨别级数的敛散性。以下是一些关键点和技巧：认识调和级数：调和级数通常表现为1/n的形式，其中n是自然数。这种级数在数学分析和高等数学中有着广泛的应用。特征记忆：记住调和级数的特征，例如它的项逐渐减小且趋近于0，这有助于我们快速识别类似级数的敛散性。解题步骤：在学习过程中，从认识数列开始，逐步掌握级数符号的代数意义。通过刷题和总结解题步骤，可以更好地理解和应用调和级数。实践应用：在实际解题中，可以根据已知的解题步骤流程图，套用模板进行解题，从而提高解题效率。通过这些方法，我们可以更好地掌握调和级数的本质，快速辨别级数的敛散性，从而提高数学学习的效率。

高数笔记：无穷级数的基本概念与性质 𐟓š 高数课程已经结束，明天我会分享一些整理好的笔记。 𐟓– 第一章：无穷级数 1️⃣ 常数项级数的收敛性：如果常数项级数满足某些条件，它就会收敛。例如，1+2+3+...，这是一个发散的级数。 2️⃣ 级数收敛的性质：如果两个级数都收敛，那么它们的和也收敛。具体问题具体分析，有时候改变级数的排列顺序或者去掉某些项并不会影响其收敛性。 3️⃣ 级数收敛的充分条件：如果级数的通项满足某些条件，那么这个级数就会收敛。例如，0.9+0.99+0.999+...，这是一个收敛的级数。 4️⃣ 幂级数的收敛半径：幂级数的收敛半径可以通过一些公式来计算，例如对于函数f(x)=∑(a_n x^n)，它的收敛半径可以通过解方程来找到。 5️⃣ 函数展开为幂级数：将函数展开为幂级数是一种重要的数学技巧，可以用于求解微分方程、计算积分等。例如，e^x=∑(x^n/n!)。 6️⃣ 傅里叶级数：傅里叶级数是周期函数的展开形式，它可以将一个周期函数表示为一系列正弦和余弦函数的和。例如，傅里叶级数可以用来描述音乐信号的频谱。 𐟓 第二章：常数项级数 1️⃣ 常数项级数的定义与性质：常数项级数是所有项都相同的级数。它们的收敛性可以通过一些基本公式来判断。例如，1+1+1+...，这是一个发散的级数。 2️⃣ 特殊类型的常数项级数：有些特殊类型的常数项级数可以通过一些技巧来计算。例如，调和级数（1+1/2+1/3+...），它是一个发散的级数。 3️⃣ 几何级数：几何级数是每一项都是前一项乘以某个常数的级数。它们的收敛性可以通过一些基本公式来判断。例如，2+4+8+...，这是一个发散的级数。 4️⃣ 复数域上的常数项级数：复数域上的常数项级数可以通过一些特殊的方法来计算。例如，复数的模和辐角可以帮助我们理解复数域上的常数项级数的性质。

找正项函数项级数反例一个函数项级数收敛，通项大于0但是一致收敛于0，能否找出反例使得该函数项级数不一致收敛顶

真是绷不住了，被气到了刚刷到一个叫什么蚂蚁橡皮绳悖论，简单来说就是一个蚂蚁以一厘米每秒的速度在橡皮绳一端上爬，而这个橡皮绳一秒会被拉长10000米，然后最后推出来，蚂蚁会到橡皮绳的另一端，我是真绷不住了，就一句话我就绷不住了，他说由于不是延长而是拉伸，所以蚂蚁哪怕只是不爬，也会跟着他目前所在绳子上的点动，我相信大家都看出来了，如果是这样，那蚂蚁一开始就因为绳子的拉伸导致速度超过了一厘米每秒，而这是整个论证的核心而评论区没有任何一个人说这一点，任何一个关于这个视频的讨论都没有说，甚至没有将条件补充成可以变成这样的评论，真的是我很气愤当然这个问题如果改变成这样蚂蚁在绳子上爬，永远比他目前所在橡皮绳上点的速度高于1厘米每秒，即使不完全严谨，但起码这个才能让这个问题变成符合论证过程的那样，而这个也没有任何一个人说或者提到我都怀疑九年义务教育水平了

听同学说没有，但不会证

如图，用柯西收敛写出发散的调和级数是收敛的

段老板居然觉得自己是个傻人，这可真是太谦虚了。其实段老板仅仅是精神有问题，说他自己傻，未免自谦了。不过傻福可是一点不假。能不上班就干待着，这种悠哉的福气可真是羡煞旁人。如段老板这样自称傻人却并没有傻透的人，会不小心让人抄袭了么？当然不是。诸君且看，段老板自己都不想打草惊蛇。最好是抄袭者名利兼收的之后，段老板再跳出来，贪天功为己有。自己甚至论文都不需要正是发表，就可以把功劳从抄袭者身上偷过来。且不说旁人如何想，自己心理不是美滋滋么？