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单调有界最新视觉报道_单调有界与收敛的关系(2024年11月全程跟踪)

内容来源：冲顶技术团队所属栏目：热点更新日期：2024-11-27

单调有界

高数极限与连续知识点总结，你掌握了吗？ 𐟓š 函数的概念与性质映射：函数的基础是映射，复合映射和逆映射对应复合函数和反函数。一元函数：理解自变量、因变量、值域和定义域的概念。奇偶性和周期性：研究函数性质和作图时很重要，注意周期函数的表达形式f(x+T)=f(x)，周期是最小正周期。单调函数：单调函数在定义域内必存在反函数。值域：利用上界与下界、无界来理解值域。初等函数：记忆和理解常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数与反三角函数的性质。 𐟓ˆ 极限的概念与性质数列收敛与发散：理解数列收敛于a和发散的定义。函数的极限：理解函数的极限和单侧极限，必要条件是左极限与右极限均为a。极限的性质：唯一性、局部保号、保序性、海涅定理。 𐟓‘ 极限的运算极限法则：掌握复合函数求极限的法则。夹逼定理：重要且需要多做题来理解。单调有界定理：常考点。重要极限：求极限的基础。 𐟓 无穷小量与无穷大量无穷小量：理解高阶、同阶、低阶和等价无穷小量的概念，以便灵活代换。 𐟌ˆ 函数的连续性连续函数的概念：仔细理解。复合函数的性质：理解复合函数的连续性。初等函数的连续性：一切初等函数在定义域内都是连续的。间断点的定义：理解第一类和第二类间断点的定义、区别和联系。最大值最小值：闭区间内连续函数的最大值最小值和有界性定理。介值定理：证明题常考点，用于证明某区间内函数存在零点。

高等数学课课练：函数的定义与性质 𐟓š 本节内容涵盖函数的定义及性质，数列的极限等重要概念。 𐟔 知识点1：函数的特性有界性：设函数f(x)的定义域为D，数集X⊆D。如果存在正数K，使得对任意x∈X，有|f(x)|≤K，则称函数f(x)在X上有界。单调性：设函数f(x)的定义域为D，区间I⊆D。如果对于区间上任意两点x1和x2，当x1f(x2)），则称函数f(x)在区间I上单调增加（或减少）。奇偶性：设函数f(x)的定义域D关于原点对称。如果对于任意x∈D，有f(x)=f(-x)，则称f(x)为偶函数。如果对于任意x∈D，有f(x)=-f(-x)，则称f(x)为奇函数。周期性：设函数f(x)的定义域为D。如果存在一个正数T，使得对于任意x∈D，有(xⱔ)∈D，且f(x+T)=f(x)，则称f(x)为周期函数，T称为f(x)的周期。 𐟓 参考答案判断函数y=ln(x+√x+1)是奇函数还是偶函数？答案：C（既是奇函数又是偶函数）判断函数y=arctanx是否是无界函数？答案：B（是单调增加的奇函数且定义域是(-∞,+∞)）求函数y=ln2+arcsin的定义域？答案：(1)(-3,0)∪(2,3) 求函数y=√16-x的定义域？答案：(0,1)∪(1,4) 𐟔 知识点2：数列极限 E-N语言叙述：liman=a (a>0)，即存在N>0，使得当n>N时，有|an-a|<€‚ 数列极限的性质收敛极限唯一性：如果数列收敛，那么它的极限唯一。收敛数列的有界性：如果数列xn收敛，那么数列{xn}一定有界。收敛数列的保号性：如果数列{xn}收敛于a，且a>0（或a<0），那么存在正整数N，当n>N时，有xn>0（或xn<0）。数列极限保不等式性：如果数列{xn}和{yn}分别收敛于a和b，若存在正整数N，当n>N时，有yn≥xn，则极限a≥b；反之，若数列{xn}和{yn}分别收敛于a和b，且a>b，则存在正整数N，当n>N时，有xn>yn。 𐟓 参考答案判断数列(-1)^n是否收敛？答案：发散利用极限存在准则，求证limn存在，并求其极限？答案：limn=1 利用单调有界定理求极限？答案：单调有界数列必有极限利用夹逼准则求解极限？答案：如果数列xn和yn满足某些条件，那么limxn=limyn=a 𐟔 知识点3：利用单调有界定理求极限定理：单调有界数列必有极限。利用夹逼准则求解极限定理：如果数列xn和yn满足某些条件，那么limxn=limyn=a。

数学分析怎么这么难？求救！救命啊！数学分析真的是我的噩梦！从一开始学这门课，我就感觉自己掉进了一个迷雾重重的世界。什么单调有界、长得像一坨屎一样的泰勒公式，还有各种中值定理，简直像天书一样摆在我面前，完全无从下手𐟘�‚ 定义多得让人记不住，根本不理解什么N语言...证明题更是难到让人想哭。上课的时候，老师讲得飞快，讲得快就算了，还有口音！每个字我都认识，连起来就不认识了！啊啊啊！课下想自学，那天书谁啃得动啊！各位刘亦菲都是怎么学数学分析的啊！有没有网课老师可以推荐啊！求助𐟆˜

考研数学二大纲详解，干货满满！ 𐟓š 考研数学二大纲来啦！满满的干货，赶紧收藏吧！ 𐟓 考试科目：高等数学、线性代数 𐟕’ 考试形式：闭卷笔试，共180分钟 𐟓Š 试卷结构（满分150分）：单选题：10题，每题5分，共50分填空题：6题，每题5分，共30分解答题：6题，共70分 𐟔 其中高数部分占118分，线代部分占32分 𐟓– 高等数学考试内容与要求：函数、极限、连续函数的概念及表示法函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性复合函数、反函数、分段函数初等函数的性质及其图形数列极限与函数极限的定义及其性质函数的左极限和右极限无穷小量和无穷大量的概念及其关系极限的四则运算极限存在的两个准则：单调有界准则和函数连续的概念函数间断点的类型初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质一元函数微分学导数的概念和计算导数的几何意义和经济意义导数的应用：单调性、极值、最值问题导数与微分的关系高阶导数隐函数及由参数方程确定的函数的导数微分中值定理泰勒公式及其应用二重积分与极坐标系下的积分二重积分的概念和性质二重积分的中值定理二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标）多元函数微分学与极值理论多元函数的概念和性质偏导数和全微分的计算多元函数的极值问题（条件极值、无条件极值）拉格朗日乘数法求条件极值重积分与曲线积分重积分的概念和性质重积分的中值定理重积分的计算方法（直角坐标、极坐标）曲线积分的概念和性质曲线积分的计算方法（参数方程法、直角坐标法）常微分方程与线性代数基础常微分方程的基本概念变量可分离的微分方程齐次微分方程与一阶线性微分方程的解法降阶法解某些形式的微分方程（y'=f(x), y''=f(x)等）线性微分方程解的性质及解的结构定理二阶常系数齐次线性微分方程的解法自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的解法微分方程的应用问题（如力学、电路等）

𐟓š莱布尼茨判别法解析𐟓– 𐟔 探寻莱布尼茨收敛判别法的奥秘！ 𐟓Œ 考点一览： - 函数极限与连续性𐟓ˆ - 可微性的定义证明𐟓 - 微积分基本定理与定积分定义𐟧𐟓Œ 极限计算技巧： 1️⃣ 四则运算与极限存在性𐟔⊲️⃣ 重要极限的掌握𐟒ኳ️⃣ 等价无穷小替换与泰勒公式𐟒労️⃣ 洛必达法则与单调有界准则𐟓‰ 𐟓Œ 级数敛散性判别要点： - 正项级数的判别法：p级数、等比级数等𐟓˜ - 交错级数的判别：莱布尼茨判别法独领风骚𐟔œ 𐟒ᠦ示：莱布尼茨判别法是判断交错级数敛散性的有效工具，结合正项级数的判别法，能更全面地掌握级数分析的精髓。𐟌Ÿ 𐟔 赶快收藏这份解析，开启你的数学之旅吧！𐟚€

提升30分！函数、极限和连续的基础知识 𐟓š 函数部分函数的定义和表示法：理解函数的概念，掌握函数的定义和表示方法，包括分段函数。函数的简单性质：掌握函数的单调性、奇偶性、周期性和有界性。反函数：了解反函数的定义和图像。四则运算与复合运算：掌握函数的四则运算和复合运算。基本初等函数：理解并掌握幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数。初等函数的概念：了解初等函数的概念。 𐟓ˆ 极限部分数列极限的概念：理解数列和数列极限的定义。数列极限的性质：掌握唯一性、有界性、四则运算定理、夹逼定理、单调有界数列和极限存在定理，熟悉极限的四则运算法则。函数极限的概念：理解函数在一点处的极限定义，掌握左右极限及其与极限的关系，以及x趋于无穷时的函数极限。函数极限的定理：掌握唯一性定理、夹逼定理和四则运算定理。无穷小量和无穷大量：了解无穷小量和无穷大量的定义、关系和性质，比较两个无穷小量的阶。 𐟓Š 连续部分连续函数的定义：理解连续函数的定义和性质。间断点的类型：掌握各类间断点的判断方法。单调函数的连续性：了解单调函数在其定义域内是连续的。初等函数的连续性：掌握幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数的连续性。闭区间上连续函数的性质：了解闭区间上连续函数的最大值和最小值定理。

「小启干货」【考研数学问题答疑】19！@考研数学高昆轮问题合集： 7、只想要90-100左右，需要达到什么程度啊（做题方面）？ 8、单调有界准则，例如证出单调递减，x1的值已给出，可不可以认为有界呢？ 9、做1000题时，是每章都做几道题比较好，还是一次做完一章比较好？ 10、我想问一下36讲6.12第二问泰勒展开后为什么常数项和一阶导都直接没了，只剩下最后的二阶导。 11、请问做1000题级数题的时候，题里经常会给出an和an+1的关系式，如何去判断是根据关系式试着整理出一个能够递推的式子从而求出an，还是通过对和函数进行求导积分处理并将关系式直接带入和函数转化为微分方程来做？怎样去判断这个级数题是用哪种方法能够做出来呢？ 12、想问下:在无穷级数那章，关于f(an，Sn)那一节中，an收敛为什么不是Sn有界且an的极限＝0的必要条件？老师可以举个例子吗？谢谢老师！「考研数学」

无穷级数收敛性测试全攻略探索无穷级数的收敛性，我们有一系列强大的工具和方法。以下是一些关键的测试和技巧，帮助你理解并解决无穷级数的问题。 1️⃣ 数列极限的属性 𐟓ˆ 了解数列极限的存在性和性质，是研究无穷级数的基础。 2️⃣ 绝对值定理 𐟓 绝对值定理为我们提供了判断级数收敛性的有力工具。 3️⃣ 单调与有界数列 𐟓Š 单调性和有界性是判断级数收敛性的两个关键条件。 4️⃣ 无穷级数 𐟓ˆ 无穷级数的定义和性质，是理解级数收敛性的起点。 5️⃣ 望远镜级数 𐟔튦œ›远镜级数的特殊形式，帮助我们更好地理解级数的结构。 6️⃣ 无穷等比级数 𐟓‰ 等比级数的收敛性是无穷级数理论中的重要部分。 7️⃣ 散度和收敛性的第n项检验 𐟔 通过检查级数的第n项，我们可以判断级数的收敛性。 8️⃣ 积分检验法 𐟓ˆ 积分检验法是一种通过积分来测试级数收敛性的方法。 9️⃣ p级数 𐟓Š p级数的收敛性是无穷级数理论中的重要课题。 𐟔Ÿ 调和级数 𐟎𖊨𐃥’Œ级数的收敛性是数学分析中的重要问题。 1️⃣1️⃣ 交错级数 𐟔„ 交错级数的收敛性可以通过一系列的测试来验证。 1️⃣2️⃣ 交错级数的误差 𐟔 交错级数的误差估计，帮助我们更精确地理解级数的收敛性。 1️⃣3️⃣ 绝对收敛与条件收敛 𐟓 绝对收敛和条件收敛是无穷级数理论中的两个重要概念。 1️⃣4️⃣ 直接比较测试 𐟓Š 直接比较测试是一种通过比较级数项来测试收敛性的方法。 1️⃣5️⃣ 极限比较测试 𐟔 极限比较测试是另一种通过比较级数项来测试收敛性的方法。 1️⃣6️⃣ 比率测试 𐟓‰ 比率测试通过比较级数项的比率来测试收敛性。这些工具和方法将帮助你更好地理解和解决无穷级数的问题。掌握这些技巧，你将能够更自信地面对各种级数收敛性的挑战。

考研数学之旅：660到880 在六月中旬到七月初，我完成了660的二刷，七月初到现在，我刚刚结束了数学强化。这段时间里，我一边看网课一边刷880，但880的综合题量实在太大，目前只做到了第三章。下面是我这两月的总结：第一章：极限计算与单调有界性 𐟓š 在第一章里，武忠祥老师的极限计算讲得很细致。去年我只是单纯刷题，没有深入总结。现在根据老师讲的例题和方法进行了简单的总结。个人觉得这章的难点是书p34页的证明数列的单调有界性，这个在880里就能看出来。这章的总结如p2、3。第二章：连续与可导的关系 𐟌𑊊第二章主要讲了连续与可导和可微之间的转换关系，求导法则包括复合求导、参数方程求导、分段函数求导和高阶导数。特别是分段函数在分段点时的求导方法比较复杂。高阶导数求导可以通过代公式、归纳法和泰勒展开。这里需要记住一些常见函数的泰勒展开公式，同时一些选择题的考点也需要认真掌握，如求函数拐点、极值、凹向和渐近线。本章最难的是微分中值定理有关的证明题，包含一道大题。武忠祥和杨超老师的讲课风格有所不同，武忠祥老师是根据题型来讲解，而杨超老师是根据定理来讲解。特别是武忠祥老师讲书p89页，23考研里就有一个这种类型的题，让我收获颇多。前两个罗尔定理和拉格朗日定理、柯西定理更多的是构造函数，找f‘（x）=0的点，而第三类更多的是根据f‘（x）=0点来进行泰勒展开，然后再带入已知的点。而在880上我学到，有时也没有f‘（x）=0的点需要自己假设，如880p17扩展题。第三章：定积分的应用 𐟓 第三章是我写题花费时间最多的。本章有很多定理需要深刻理解才能写对题，如原函数的存在性，定积分的存在性。而变上限积分函数应用里有关F（x）可导性的知识点：f（x）连续则F（x）可导这都能记住，但f（x）在某点是可去间断点时，Fx是可导的且F在该点求导等于f（x）取极限时x趋于该点，我感觉这一块武忠祥讲得很好，通过画图来证明。之后连乘n次项取对数再定积分定义、积分上下限都变—积分中值定理，上下限都不会变—夹逼/积分中值定理。这一章最难的估计就是积分不等式。后面定积分的应用每一年都会考，只要记住武忠祥老师讲的方法，背一些函数图像的表达式，再记一些公式：弧长公式、旋转体侧面积公式。我也进行简单的总结p4、5、6。总结 𐟓 这两月的学习虽然辛苦，但收获颇丰。希望我的总结能对大家有所帮助，祝大家考研顺利！

𐟓š数列极限的解题秘籍𐟔 𐟎“ 洛必达法则：这是求解0/0或∞/∞型极限的利器，让你轻松搞定复杂计算。 𐟓– 泰勒公式：对于复杂函数，泰勒公式能提供高精度的近似，是解题的好帮手。 𐟒ᠧ퉤𛷦— 穷小：在x趋近于某个值时，利用等价无穷小可以简化计算过程。 𐟔堦Š“大头：当分子分母都趋近于0时，利用“抓大头”可以迅速找到极限值。 𐟓ˆ 单调有界准则：证明函数单调且有界，从而确定其极限存在。 𐟤 夹逼准则：当函数被两个极限相同的函数夹在中间时，可以利用夹逼准则来求极限。 𐟒ꠦŽŒ握这些解题方法，数列极限不再是难题！加油，数学小达人！𐟌Ÿ

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