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随机变量的定义在线播放_随机变量的例子(2024年11月免费观看)

内容来源：冲顶技术团队所属栏目：导读更新日期：2024-11-28

随机变量的定义

方浩概率论强化：随机变量数字特征详解大家好，来给大家分享方浩概率论强化第四讲的内容啦！这一讲真的是满满干货，题目多又难，所以我决定分两天来分享。方浩老师的独创名词和解题方法真是太有趣了，比如“曹冲称象，浩哥称狗𐟐𖰟𖢀和“刚好遇见你”，大家一定要好好体会浩哥的高山看海感哦𐟌Š𐟌Š 注意事项： ❶ 曹冲称象，浩哥称狗法：这个方法特别适用于解决一些复杂的概率问题，比如例4.4和题22。 ❷ 二维随机变量降维：如果能降维就尽量降维，线性一次幂的用卷积公式，非线性的用定义。 ❸ 卷积公式降幂：找固定区间和可变区间，然后用“刚好遇见你”方法找关键点。 ❹ 求概率密度：可以用分布函数求导，这是通用方法；也可以用卷积公式，特别是X+Y和XY类型。 ❺ 函数合并：随机变量不能合并❗❗随机变量不可能一样，只可能是密度和分布一样。 ❻ 独立同分布：不相关等于协方差为0。 ❼ 计算期望：先用定义，其次是常见随机变量期望+曹冲称象。 ❽ 计算方差：先用性质，其次是常见随机变量方差+定义+期望。这一章结束后，后面的内容就少多了，大家一起加油加油加油！𐟒갟’갟’ꀀ

今天谈一下概率论与统计学中的随机变量的数学期望的科学性，统一性，一致性和存在唯一性问题！关于一个随机变量的数学期望的定义总共有五种定义：没Y是一个随机变量，第一种定义是：㗥…𓤺ŽY的分布函数F（㗯𜉧š„勒贝格斯蒂阶斯积分所定义的Y的数学期望；第二种定义是㗥…𓤺Ž由F（㗯𜉤𚧧”Ÿ的测度的积分所定义的Y的数学期望；以上二种方法定义出来的Y的数学期望的存在性是等价的；原因是第二种方法定义出来的数学期望如果存在，则显然第一种方法定义出来的数学期望也存在，即㗥…𓤺ŽF（㗯𜉤𚧧”Ÿ的测度的积分存在一定可以推出x关于F（x）的勒贝格斯蒂阶斯积分存在，且都唯一，进一步两个积分值一定是相等的！第三种定义是Y关于其定义于概率空间上面的概率测度的积分；显然由测度论中积分测度变换所知：第二种方法定义出来的数学期望的存在性与第三种方法定义出来的数学期望的存在性是完全等价的，这两个积分其实是同一个积分；第四种定义是关于连续型随机变量的数学期望的定义，它是x乘以Y的概率密度函数关于通常的实直线上的勒贝格测度的积分所定义；又显然第四种数学期望的定义和第二种数学期望的定义当Y是连续型随机变量时，由测度论中的积分变换可知它们是同一个定义；第五种数学期望的定义是关于离散型随机变量，由对其概率分布律而建立起来的级数求和所定义，关于这个随机变量的数学期望的存在的定义其实是和第四种方法定义是等价一致的，我们己有专门的论文阐述！综上所述，关于一个随机变量Y的数学期望的五种定义是统一的，一致的，其中任何一个定义定义出来的数学期望如果存在，则其它定义定义出来的数学期望也存在，而且数学期望值是相等的！进一步，一个随机变量的数学期望存在，则一定是唯一的，且这个随机变量的绝对值的数学期望也存在！

概率论与数理统计笔记总结 𐟓š 第一章：随机事件及其概率随机事件与运算定义：随机事件是样本空间的一个子集。包含关系：A发生必有B发生。等价关系：A发生当且仅当B发生。互不相容（互斥）：A与B不能同时发生。对立关系：A发生则B不发生，反之亦然。三大运算并：A∪B，至少有一个发生。交：A∩B，同时发生。差：A-B，A发生B不发生。运算规律交换律：A∪B = B∪A，A∩B = B∩A。结合律：(A∪B)∪C = A∪(B∪C)，(A∩B)∩C = A∩(B∩C)。分配律：A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C)，A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C)。德摩根定律：A-(B∪C) = A-B ∩ A-C，A-(B∩C) = A-B ∪ A-C。古典概型定义：只有有限个样本点，每个样本点发生的概率相等。例子：一批产品中有M件次品，不放回抽样n件，求次品数。 𐟓˜ 第二章：随机变量及其分布随机变量的定义变量X是定义在样本空间上的单值实值函数。分布函数定义：F(x) = P(X≤x)。性质：单调非减，0≤F(x)≤1，F(-∞) = 0，F(+∞) = 1。离散随机变量定义：只能取有限个或可列无穷多个值。性质：P(X=x) ≥ 0，且所有P(X=x)之和为1。常见分布：超几何分布、二项分布。连续随机变量定义：取值范围是某个实数区间，存在概率密度f(x)。性质：f(x) ≥ 0，且所有f(x)在(-∞,+∞)上的积分为1。常见分布：均匀分布、指数分布、正态分布。 𐟓Š 第三章：随机变量的数字特征期望（均值）定义：E(X)。性质：E(CX) = CE(X)，E(XY) = E(X)E(Y)（若X与Y独立）。方差定义：D(X) = E[(X-E(X))ⲝ。性质：D(CX) = CⲄ(X)，D(Xⱙ) = D(X) + D(Y)（若X与Y独立）。标准差：c() = sqrt{D(X)}。正态分布定义：N(𒩯𜌥𚦥‡𝦕𐦨x)。性质：曲线关于﹧簯𜌥𝓸=—𖥏–得最大值。中心极限定理定理：若X1, X2, ..., Xn相互独立且同分布，则Z = (X1 + X2 + ... + Xn)/n ~ N(𒯮)。 𐟓š 第四章：正态分布的应用正态分布与标准正态分布的关系定理：若X~N(𒩯𜌥ˆ™Y = (X - /~ N(0,1)。正态分布的数字特征期望E() = 𜌦–𙥷) = 𒣀‚ 线性性、可加性、线性组合性等性质。

9.1分高分教材，概率论入门必读！ 𐟓š 如果你正在寻找一本能够深刻理解概率论的书籍，那么《概率、随机变量与随机过程》绝对是你的不二之选。这本书由美国著名学者Aⷥ𘕦™Œ斯教授撰写，自1965年第一版问世以来，已经经历了四次修订，成为了美国多所大学相关专业研究生的经典教材。 𐟔 本书的特点在于将复杂的高深理论巧妙地应用于工程实际，因此深受工程界专业人士的喜爱。第四版在保持前三版精华的基础上，更新了约三分之一的章节内容，新增了第15、16章，并增加了大量新例子，进一步澄清了一些复杂的概念，使读者能更容易地理解它们。 𐟓– 本书适合无线电通信系统、信号处理、控制理论、优化、滤波等专业的研究生和本科高年级学生使用，也可供相关领域的科研人员和工程技术人员参考。无论你是概率论的初学者，还是希望将概率论应用于实际工程的专家，这本书都将为你提供宝贵的指导。 𐟌Ÿ 本书真正理清了概率的不同定义之间的关系。误差=微扰，概率公理是假设的，而不用证明。随机变量的极限是随机过程，这样随机变量就理解了。条件期望可以看作希尔伯特空间的投影，积分作为随机变量的期望。 𐟒ᠦ€𛧚„来说，《概率、随机变量与随机过程》是一本兼具理论深度和应用价值的教材，无论你是概率论的学习者还是实践者，这本书都值得一读。

投资学入门：统计学基础有多重要？投资学的精髓在于对数据的深入分析，而统计学是这一过程的基础。如果你在学习《投资学》或《投资学精要》时感到困难，很可能是因为统计学的基础不够扎实。以下是一些具体的例子来说明统计学在投资学中的重要性： 𐟓Š 组合理论组合方差的计算需要用到组合资产之间的协方差。这涉及到方差-协方差矩阵的理解。例如，给你三个资产过去100天的日度收益率，如何计算出方差-协方差矩阵，并根据不同的权重矩阵，计算组合方差？ 𐟓ˆ 单因素模型这个模型实质上是一元线性回归。与现代组合理论相比，它的优势在于更便于估计方差协方差矩阵。那么，对于两个资产，在得到各自的beta系数后，如何估计协方差？这就用到了随机变量线性组合的协方差公式。回归模型的残差方差，衡量了单个资产的非系统性风险。 𐟓‰ VaR值的计算 VaR的含义本身就是根据概率分布来定义的。给定一年的VaR值，如何切换到日度或其他频次的VaR值？这就用到了随机变量线性变换的标准差等知识。如果你在学习投资学时遇到这些难题，那么《投资学》看起来就会非常不顺畅。如果你没有上过统计学相关课程，可以参考CFA一二级Quantitative Methods模块知识，内容精练，有助于快速掌握统计学核心知识点。总之，统计学是投资学的基石，没有扎实的基础，学习投资学将会变得非常困难。

𐟓š《概率论与数理统计》精华笔记大放送 𐟎“ 想要掌握《概率论与数理统计》的精髓吗？这里有一份详尽的笔记资料，助你轻松应对考研、期末考试以及复试！ 𐟓– 第一章：概率论的基本概念 𐟔 样本空间与随机事件定义：样本空间S是所有可能结果的总和。事件关系：ACB表示B包含A，即A发生则B必定发生。和事件：AUB表示A或B中至少有一个发生。积事件：AB表示A和B同时发生。差事件：A-B表示A发生但B不发生。互为逆事件：AUBS=S且ANB=中，则A与B互为对立事件。 𐟓ˆ 频率与概率频率：在相同条件下进行n次试验，事件A发生的次数除以n。概率：设E是随机试验，S是它的样本空间，对于E的每一事件A赋予一个实数，记为P(A)，称为事件的概率。概率性质：非负性、规范性。 𐟓Š 独立性定义：设A,B是两事件，如果满足P(AB)=P(A)P(B)，则称事件A,B相互独立。定理一：设A,B是两事件,且P(A)>0,若A,B相互独立，则P(BIA)=P(B)。定理二：若事件A和B相互独立，则下列各对事件也相互独立。 𐟓‰ 第二章：随机变量及其分布 𐟔 随机变量定义：随机试验的样本空间为S，X=X(e)是定义在样本空间S上的实值单值函数，称X=X(e)为随机变量。离散型随机变量及其分布律离散随机变量：可能取到的值是有限个或可列无限多个。三种重要离散型随机变量：(0-1)分布、伯努利实验、二项分布。 𐟎‰ 快来领取这份精心整理的《概率论与数理统计》笔记吧！全面复习，助你取得优异成绩！

MaxEnt+GIS，生态建模新法！生态学建模是研究生物分布和环境因素关系的重要方法。其中，最大熵模型（MaxEnt Model）是一种广泛应用的统计模型，尤其在物种分布预测中表现出色。它通过最大化熵来推断概率分布，核心思想是在已知约束条件下，选择最不偏倚的概率分布，即熵最大的分布。定义 𐟓– MaxEnt模型是一种通过最大化熵来推断概率分布的模型。熵是信息论中的一个概念，用于衡量随机变量的不确定性或信息量。最大熵原理的核心思想是，在所有符合已知约束条件的概率分布中，选择熵最大的那个分布，通常用于估计系统的状态或预测分布。基本原理 𐟌 最大熵原理的基本思想是：在没有进一步的信息时，应该选择最不偏向任何假设的概率分布，即最大化熵，避免做出不必要的假设。换句话说，当你仅有部分已知信息时，最大熵模型通过最大化熵来保持对未知的最大不确定性，只在已知信息的基础上做出推断。应用：生态学建模 𐟌𑊍axEnt模型在生态学领域的应用非常广泛，尤其是物种分布预测。给定物种的存在数据和环境特征数据，MaxEnt模型可以用来预测物种在不同环境条件下的分布概率。例如，在物种分布建模中，MaxEnt模型使用气候、土壤类型等环境特征作为特征函数，最大化熵来推断物种可能分布的区域。 MaxEnt与GIS的结合 𐟗𚯸 GIS（地理信息系统）能够处理空间数据，帮助获取、管理和分析环境变量数据（如气候、土壤类型、土地使用、植被类型等）。将环境数据与物种出现数据结合起来，可以为MaxEnt模型提供所需的输入。具体来说，GIS在生态学建模中的作用包括：空间数据收集与处理：GIS可以处理不同空间分辨率的栅格数据（如气候、海拔、降水量等），并将这些数据转换为模型可以使用的格式。环境变量的空间分析：研究人员可以分析不同环境变量在空间上的分布，并确定这些变量对物种分布的影响。物种存在数据的空间化：GIS还能够将物种的出现点与栅格化的环境数据结合，确保MaxEnt模型可以利用这些空间信息进行建模。 GIS数据的输入 𐟓ˆ 物种出现数据：通常是地理坐标表示的物种观察点。通过GPS定位或已有的物种观察记录获得。环境变量数据：这些数据通常是栅格格式，包括气候数据（如年平均温度、降水量等）和地形数据（如海拔、坡度等）。通过结合MaxEnt模型和GIS，生态学家可以更准确地预测物种的分布范围，了解环境因素对物种分布的影响，从而制定更有效的保护和管理策略。

25考研数学大纲变动解析与复习指南 𐟓… 2025年考研数学大纲已经发生了变动！𐟓– 𐟔 与2024年大纲相比，2025年大纲在数学一的概率论与数理统计部分进行了微调。具体来说，在随机事件和概率的考试要求中，将“掌握用事件独立性进行概率计算”改为“掌握用事件独立性进行概率计算的方法”。这一改动主要表现在表述方式上，但即便如此，我们也需要重视这一变化，因为它可能意味着考试将更加注重对这一内容的考察。 𐟓š 为了帮助大家更好地应对这一变动，我们提供了详细的复习指南。以下是针对大纲改动的具体内容： 1️⃣ 事件的独立性：概念与性质：详细介绍了事件独立的四大性质，帮助大家理解事件的独立性。经典例题：通过多个例题展示了事件独立性在概率计算中的应用，帮助大家掌握解题技巧。 2️⃣ 随机变量的独立性：概念与性质：介绍了随机变量独立的基本定义及离散型和连续型随机变量相互独立的条件。经典例题：通过多个例题展示了随机变量独立性在概率计算中的使用方法，帮助大家更好地掌握。 3️⃣ 随机变量的数字特征中关于独立性的内容：概念与性质：详细说明了随机变量X、Y相互独立所推出的关于期望的结论，并提到了“相互独立”这一条件要强于“不相关”这一条件。经典例题：通过多个例题展示了“独立性”在与数字特征有关的题目中的使用方法，帮助大家更好地应对考试。 𐟓– 参考图书：《金榜时代考研数学复习全书提高篇》通过以上内容，大家可以更好地理解和掌握大纲的变动部分，从而在考试中取得更好的成绩。加油！𐟒ꀀ

教育心得分享：复盘与超越④ 最近在复习教育学的各种知识点，真是又爱又恨啊！𐟘… 来给大家分享一下我的复盘心得，希望能帮到同样在奋斗的你们。函数大小比较：T3 这个题目其实挺常规的，但我在做的时候太复杂化了。后来发现，考试的时候直接任取一个区间上的点代入，省时省力。抽象矩阵行列式计算：T6 这道题我错在了AB=O，r(A)+r(B)≤n，(AB)=4*3，n=4！其实应该根据关系式推出A的特征值，然后计算行列式。带参数无穷积分计算：T12 这个题目真是难到爆！我几乎没见过这种类型的题。后来发现有两种方法可以解决：方法一：变量代换(ex＝t)；倒代换(t＝1/u)。积分计算与积分字母无关，列出等式。方法二：三角换元：t＝tanu，切换弦(分子分母同乘cosu)；区间再现，消掉参数€‚ 方法三：利用ex和e-x互为倒数，令x＝-t；分子分母有理化，-t消为t。中心思想就是对积分作各种变换，最终消掉参数€‚ 抽象定积分求原函数：T14 这道题简直让我崩溃！技巧性太强了，做不出来。后来发现有两种方法：方法一：对f'进行分部积分不可取，因而对f进行分部。观察式子，凑完全平方，得出等式。方法二：观察式子，凑完全平方，得出等式。抽象函数求极限：T17 这道题我用无穷小的形式做错了，得出的是高阶无穷小是二阶的，分母是四阶的（不严谨）。后来发现有两种方法：方法一：用拉格朗日中值定理，凑导数定义。方法二：用洛必达法则（洛到一阶导数，二阶凑导数定义）。证明级数收敛性：T20 这道题有两个小问，第一问有连续导数，存在最大值，泰特展开，用绝对值放缩。第二问有两种方法：方法一：用第一问的结论。注意第一问是积分，内部求导才是f(x)，证明一阶连续即可。方法二：用等价无穷小。设内部～ax^p，用洛必达。求矩阵问题：T21 这道题我在考试的时候草稿纸没算完就写进答题卡了，写一半发现全部写错了，真是彻底疯狂！考试的时候一定要注意得出结果了再抄进答题卡！错因是主观臆想A的另一个特征值为2。其实应该设最后特征值为𜌦 𙦍𙥾向量正交，得出最后一个特征向量，用QTAQ＝对角阵（简法：谱分解A＝⧱⧱T+⧲⧲T+r⧳⧳T）。或者直接把A设出来，根据和B的关系+实对称矩阵的特征求解合个未知数。分段随机变量求期望：T22 这道题我转换成了联合概率密度求均值。其实也可以用其他方法解决，但这个方法对我来说比较直观。希望这些分享能帮到你们，大家一起加油吧！𐟒ꀀ

高中数学全知识点思维导图汇总 𐟓š 函数与方程函数基础定义与表示（解析式、图像、列表）函数的性质（奇偶性、单调性、周期性）基本初等函数（幂函数、指数函数、对数函数、三角函数）函数应用实际问题建模函数的零点与方程解复合函数、反函数定义与性质求复合函数、反函数的步骤 𐟓ˆ 数列与极限数列基础定义与分类（等差数列、等比数列）通项公式与求和公式数列的极限极限的概念极限的性质与运算法则极限的求解方法无穷级数级数的定义与分类收敛与发散的判断 𐟒ᠤ𘍧퉥𜏤𘎨˜Ž 不等式基础一元一次/二次不等式解法绝对值不等式解法不等式证明比较法、综合法、分析法反证法均值不等式、柯西不等式等 𐟓 解析几何直线与圆直线方程（点斜式、两点式、截距式、一般式）圆的方程与性质直线与圆的位置关系圆锥曲线椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与性质直线与圆锥曲线的交点问题 𐟓 立体几何空间几何体棱柱、棱锥、球的性质与表面积、体积空间位置关系平行与垂直（线面、面面）角的度量（异面直线所成角、二面角）距离（点到点、点到线、点到面） 𐟎悧Ž‡与统计概率基础古典概型、几何概型条件概率、全概率公式、贝叶斯公式随机变量与分布离散型随机变量及其分布律连续型随机变量及其概率密度期望与方差统计推断抽样方法参数估计假设检验 𐟓– 微积分初步导数导数的定义与几何意义导数的计算（基本公式、运算法则、复合函数求导）导数的应用（单调性、极值、最值）定积分定积分的概念与性质定积分的计算（换元积分法、分部积分法）定积分的应用（面积、体积、物理应用）

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