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互斥和独立的区别新上映_三个事件两两独立举例(2024年11月抢先看)

内容来源：冲顶技术团队所属栏目：导读更新日期：2024-11-28

互斥和独立的区别

中小学课本里有离散数学吗？你会单独拿出来做笔记吗？你们是不是也有过这样的疑惑，翻着那些色彩斑斓的中小学课本，心里暗暗嘀咕：“这离散数学，是不是躲哪儿偷偷给我上课呢？”𐟘‚ 说实话，当初我也是一脸懵圈，心想这高大上的名字，怎么就没在我的数学书里占个C位呢？首先，咱们得澄清一下，中小学课本里直接叫“离散数学”的章节？嗯……大概率你是翻错书了，或者提前预习了大学课程表！𐟘‰ 离散数学，这家伙其实是计算机科学、数学专业里的常客，它喜欢和逻辑、图论、集合论这些小伙伴们手牵手，在大学的课堂里翩翩起舞。但在咱们中小学生的世界里，它更像是隐藏在幕后，悄悄为那些看似简单的数学题注入灵魂的大师。想象一下，你解决一道关于排列组合的题目，心里正得意于自己的“小聪明”，殊不知，这其实就是离散数学里组合数学的一个温馨小拥抱！𐟤— 又或者你学习概率论时，琢磨着为什么事件之间会有“互斥”和“独立”的区别，嘿，离散数学正躲在角落里偷笑，说：“看，我无处不在吧！” 至于我会不会单独拿出来做笔记？那必须是肯定的！𐟓 虽然中小学不直接讲离散数学，但那种对逻辑的严谨、对问题分解的细致，我可是偷偷学了个遍。每次遇到稍微绕点弯的数学题，我就会拿出我的小本本，一边画图一边标注，就像是在解开一个个精心设计的谜题。那种感觉，就像是和离散数学来了一场跨越年龄的秘密约会，既刺激又兴奋！而且啊，我发现这样做笔记不仅让我的数学成绩稳步提升，还让我对编程、算法这些高科技玩意儿产生了浓厚的兴趣。毕竟，离散数学可是它们背后的理论基石之一呢！所以，小伙伴们，别小看日常学习中的点滴积累，说不定哪天，你就在不经意间，和离散数学这位神秘嘉宾不期而遇了呢！𐟌Ÿ 总之，虽然中小学课本里没有直接写“离散数学”四个字，但它的影子无处不在，影响着我们的思维方式，悄悄提升着我们的逻辑能力。如果你也像我一样，对这个世界充满好奇，不妨在学习的路上多留个心眼，说不定就能捕捉到那些隐藏在知识海洋中的小秘密呢！𐟔𐟌Š #离散数学隐藏课# #中小学学习小妙招# #逻辑思维大挑战#

高中数学与中专数学教材对比分析 𐟓š 高中数学和中专数学教材在内容上有着明显的差异。以苏教版的高中数学必修2和中职基础模块下册为例，我们来详细对比一下。 𐟔 中职课本共包含四个章节，分别是：指数函数与对数函数直线与圆的方程简单几何体概率与统计初步 𐟓š 苏教版的高中数学必修2则包含七个章节，具体内容为：平面向量三角恒等变换解三角形复数立体几何初步统计概率 𐟓Š 两本书在内容上有一定的重叠，主要体现在后三章：中职课本的后两章（简单几何体和概率与统计初步）与苏教版必修2的后三章（立体几何初步、统计、概率）相似。不过，中职课本在这部分内容上更为简单，省略了圆台和棱台的相关公式，概率部分只讲解互斥事件、对立事件和独立事件，而不涉及抽样方法。 𐟓 另外，中职课本在样本方差的计算中使用了1/（n-1）的公式，这与大学里的公式相一致，而苏教版和初中的方差公式则基本使用1/n。 𐟓– 在指数函数与对数函数这一章，中职课本只讲解了指数函数和对数函数，省略了幂函数和对数中的换底公式。这部分内容实际上对应苏教版必修1中的第4章和第6章。 𐟓 在直线与圆的方程这一章，中职课本删去了直线的两点式方程，这部分内容在苏教版中选择性必修一中有所涉及。 𐟓 总体来说，中职课本的内容相对较少且简单。希望这些对比能帮助大家更好地了解两种教材的区别。

互斥与对立事件的区别图解 𐟓Š 互斥事件、对立事件、独立事件和条件概率是概率论中的几个重要概念。下面我们来详细讲解它们之间的区别。互斥事件 𐟚늤𚒦–夺‹件是指两个事件不能同时发生。例如，一袋中有三个球，事件A表示“至少有一个白球”，事件B表示“至少有一个红球”，事件C表示“有红球也有白球”。在这种情况下，事件A和事件B是互斥的，因为它们不能同时发生。对立事件 ❌ 对立事件是指两个事件中必有一个发生。例如，在一场比赛中，事件A表示“甲参加跳高比赛”，事件B表示“乙参加跳高比赛”。由于每项比赛至少有一位同学参加，所以事件A和事件B是对立的。独立事件 𐟤 独立事件是指两个事件的发生与否不相互影响。例如，在一场比赛中，事件A表示“甲参加跳高比赛”，事件C表示“乙参加跳远比赛”。这两个事件是独立的，因为甲参加跳高比赛不会影响乙参加跳远比赛的概率。条件概率 𐟓ˆ 条件概率是指在某个条件下，某个事件发生的概率。例如，在一场比赛中，事件A表示“甲参加跳高比赛”，事件B表示“乙参加跳高比赛”，那么P(AB)表示在甲参加跳高比赛的条件下，乙也参加跳高比赛的概率。练习题 𐟓 以下是几个练习题，帮助你更好地理解这些概念：在一袋中有三个球的情况下，事件A表示“至少有一个白球”，事件B表示“至少有一个红球”，那么事件A和事件B是否为互斥事件？在随机安排甲乙丙丁四个人参加校运会跳高、跳远、投铅球比赛中，事件A表示“甲参加跳高比赛”，事件B表示“乙参加跳高比赛”，事件C表示“乙参加跳远比赛”。那么事件A与B是否相互独立？通过这些概念和练习题，你可以更好地理解互斥和对立事件的区别，以及它们在概率论中的应用。

𐟔奈三数学难点大起底，简明扼要速看！代数方程与方程组：解法复杂多变，需要掌握因式分解、配方法、赋值法等，同时能正确推导和解答复杂的方程组。平面几何与空间几何：平面几何涉及相似三角形、勾股定理等难点，空间几何则要求理解点、线、面的位置关系和计算问题，抽象且需灵活运用。统计与概率：包括频率分布、概率计算、事件的互斥与独立等，要求学生具备良好的数理统计基础，并能解决实际问题。三角函数与三角恒等变换：定义、性质、图像变换等都需要准确理解，并能灵活运用解决各种问题。函数：尤其是二次函数的图像和性质，是中考数学命题的热点和难点，需要综合运用方程、几何图形等知识点解决问题。 𐟌Ÿ这些难点需要你对基础知识有扎实的掌握，并能结合实际问题进行思考和解题。不过别担心，在主页橱窗我们给您精选了相关图书课程，帮助你轻松突破初三数学难点，迈向数学巅峰！𐟒ꊊ#初三数学难点#

𐟎𒦦‚率初步思维导图大揭秘𐟎‰ 𐟓š 高中数学第十二章《概率初步》来啦！你是不是对概率感到困惑呢？别担心，我们为你准备了一份详尽的思维导图！ 𐟔 首先，我们来了解一下随机现象。随机现象就是那些结果不确定、无法预测的现象，比如抛硬币。 𐟎𒠦Ž夸‹来是概率的定义。概率就是一个事件发生的可能性大小。它是一个介于0和1之间的数，0表示不可能，1表示必然。 𐟓ˆ 然后，我们探讨了如何计算概率。有两种主要方法：一是通过频率来估算，二是通过理论公式来计算。 𐟒ᠦœ€后，我们还介绍了一些重要的概率概念，比如互斥事件、独立事件等。这些概念在解决实际问题时非常有用哦！ 𐟎‰ 现在，你是不是对概率有了更清晰的认识呢？快来试试这份思维导图，让你的学习更加高效吧！

中级会计备考秘籍：60天冲刺攻略 𐟓š 财务管理：学会如何管理资金，合理开支，合理借贷。 𐟓ˆ 财务管理的目标：让老板赚最多的钱，实现利益最大化。 𐟑堥ˆ駛Š相关者：了解这些钱与谁有关，谁会是受益者。 𐟏⠤𘀧𚧥𘂥œ𚯼š股票和债券首次发行的场所，类似4S店。 𐟚— 二级市场：已发行的股票和债券交易市场，类似二手车市场。 𐟒𜠧†性经济人：一切以利益为中心。 𐟒𘠥䍥ˆ鯼š利息滚入本金，产生更多利息。 𐟏栥𙴩‡‘：定期定额的收入或支出，如房贷车贷。 𐟒ᠧŽ𐥀𜯼š未来的钱在现在值多少钱。 𐟓ˆ 终值：现在的钱在未来的价值。 𐟒𕠨𔧥𘁦—𖩗𔤻𗥀𜯼š不同时间点的钱价值不同。 𐟎𒠩㎩™餸Ž报酬：高风险高回报，赌对了上天堂，赌错了下地狱。 𐟓ˆ 权益证券：买卖股票。 𐟓‰ 衍生证券：期权、期货等金融衍生品。 𐟒𜠧›ˆ利能力：赚的钱多不多。 𐟏ƒ‍♂️ 营运能力：赚钱的速度和效率。 𐟒ꠥ🥀𚨃𝥊›：能否按时还债。 𐟔 敏感分析：一个因素变动会引起其他因素多大程度的变动。 𐟚려𚒦–婡𙧛š单选题，如6点-8点学习财管和看电影只能选一个。 ✅ 独立项目：多选题，如做指甲的同时还可以追剧。 𐟏𗯸 纯贴现债券：只在到期日支付本金，其余时间不支付。 𐟓ˆ 流通债券：已发行并可交易的债券。 𐟓Š 保本量：不赚不赔的销量。 𐟓ˆ 保利量：达到要求利润的销量。 𐟒𘠨𞹩™…成本：多生产一瓶可乐的成本。 𐟏栩‡置成本：现在买一瓶82年雪碧的成本。 𐟏⠥›𚥮š成本：房租、水电和员工工资。 𐟓ˆ 期权：买卖资产的权利，不实物交割，只赚差价。 𐟓ˆ 看涨期权：看好股票上涨，买入。 𐟓‰ 看跌期权：看好股票下降，卖出。 𐟒𕠦‰稡Œ价格：双方协商的交割价。 𐟓ˆ 期权的内在价值：期权的本质是亏是盈。 𐟓ˆ 期权的时间溢价：时间可以改变一切，利好。 𐟌Ÿ 备考心得： 𐟔 利用大白话、速记口诀等背诵捷径，最后两个月每天坚持背诵，先记常考章节。 𐟔 跟随陈娇会计的考前冲刺压题，记住老师总结的必考点，反复刷真题和压题卷。

高中数学复习攻略：从基础到拔高嘿，数学基础薄弱的同学们，别灰心！其实，高中数学也不是那么难，只要你有条不紊地复习，完全可以提升自己的分数。下面我给大家分享一下我的复习计划，希望能帮到你们。专题一：集合、函数、导数与不等式 𐟧首先，我们从最基础的内容开始。集合的定义、真假命题、充分与必要条件，这些内容虽然简单，但也不能忽视。建议大家花一周时间搞定这些内容。接下来是函数和导数。这部分内容虽然多且难，但却是考试的重点。如果你在低分段，不用过于深入钻研，但至少要花一个月到两个月的时间来熟悉这些知识点。专题二：数列 𐟓ˆ 数列部分相对简单，等差数列和等比数列的通项与求和是重点。这部分内容大约需要2-3周的时间来掌握。专题三：三角函数、平面向量和解三角形 𐟌 三角函数、平面向量和解三角形这部分内容也不难。掌握五组基本公式、三角函数的图像与性质，以及正弦定理和余弦定理解三角形是关键。平面向量可能只考察一个选择题或填空题，但它是空间向量的基础。建议花不到一周的时间来复习。专题四：复数 𐟔 复数是高中数学中最简单的一部分，但也是必考内容。基本概念、四则运算、实部、虚部、共轭、模这些内容都需要掌握。通常复数题会出现在试卷的选择题前3题内，建议花一周时间认真复习。专题五：立体几何 𐟏† 立体几何部分需要掌握几何体的三视图、空间点线面的关系及空间角的计算。用空间向量解决点线面的问题是重点。这部分内容通常是空间向量大题的第一个问题，建议花两周时间来复习。专题六：解析几何（较难） 𐟚€ 解析几何是高中数学中较难的部分，包括直线与圆锥曲线的位置关系、动点问题、轨迹方程的探求以及最值范围、定点定值、对称问题。圆锥曲线会考察一个大题和一个选择题，建议花2-3周时间来复习。专题七：概率与统计 𐟓Š 概率与统计部分包括独立事件和独立重复事件发生的概率、互斥事件、古典概型等。概率可能会考察一个选择题或一个大题，建议花1-2周时间学习。统计通常与概率一起选考一个答题，这个内容的大题是最简单的，建议花一周时间。希望这份复习计划能帮到你们，祝大家都能在高考中取得好成绩！𐟒ꀀ

数学教师编考试86.6分备考经验分享大家好，我是今年刚毕业的应届生，专业是数学教育。虽然大家都说我很笨，但我一次就考上了安徽的数学教师编，笔试成绩86.6分！今天就来分享一下我的备考经验，希望能帮到正在准备教师编考试的小伙伴们。数学备考心得 𐟓š 专题一：集合、函数、导数与不等式集合和不等式的内容比较简单，一周之内背会概念和练会题目就行了。函数和导数是考试的重点和难点，我主要是跟着小破站上的视频讲解，先理解理论公式，再练习例题。专题二：数列等差数列的通项与求和；等比数列的通项与求和。建议花2-3周时间认真学。专题三：三角函数、平面向量和解三角形掌握五组基本公式，了解三角函数的图像与性质（正弦、余弦及恒等变换），正弦定理与余弦定理解三角形，平面向量可能会考察一个选择题或填空题。专题四：复数复数是高中最简单的一个内容，高考必考5分，平时考试也是必考题目，通常位于试卷选择题型的前3题内。建议花1周时间认真学习。专题五：立体几何几何体的三视图、空间点线面的关系及空间角的计算。用空间向量解决点线面的问题是重点（证明题）。专题六：解析几何（较难）直线与圆锥曲线的位置关系（椭圆、双曲线、抛物线），动点问题，轨迹方程的探求以及最值范围、定点定值、对称问题，弦长问题。圆锥曲线会考察一个大题和一个选择题，选择题属于中等题。大题第一问属于基础题，第二问属于压轴题！建议耗时2-3周。专题七：概率与统计独立事件和独立重复事件发生的概率，互斥事件、古典概型等这个内容的大题是最简单的，内容也较好理解。建议花1周时间。教综备考心得 𐟓– 资料：山香大红本+粉笔6000题+山香客观3600+山香真题卷+教综大默写+82个人物背诵宝典网课：黎响招教课（精讲版，讲的教综重点很全面，案例、题型、关键词都一一拉小框架总结的，还有教综速记口诀）教育学分值占比35%，重点章节是一、四、六、七、八章节，题型也是全覆盖主客观都有，难点就是背诵难，强推山香学霸笔记，里面框架清晰，知识点难记的部分都会标注口诀和关键词辅助。心理学分值占比20%，重点章节是二、三四章，题型多考客观！难点是抽象知识点较多，很容易搞不懂做不对题，非常需要认真听黎响老师讲每个考点延伸的案例，用小本本汇总下来，不仅能区分特点还能辅助做题选对正确的案例选项。教心学分值占比30%，重点章节是二、三、四、五章节，题型偏主观题，难点是背了不会运用理论做大题！所以我除了跟黎响课听考点外，还会刷黎响的主观做题技巧，利用老师讲的多维度去审题灵活运用技巧答题。小三门分值占比15%，重点是《未成年保护法》、《教师法》、《义务教育法》《中小学教师职业道德规范》《中小学教师职业行为十项准则》《新课改背景下的教师观、学生观》都是些识记性的小知识点，记准关键词和主题、年龄就行，出题也很简单，不拐弯抹角！希望这些经验能帮到你们，祝大家都能顺利通过考试！𐟒ꀀ

24岁应届生一次考上安徽数学教师编！大家好，我是今年刚毕业的应届生，专业是数学教育。虽然我平时成绩还不错，但也没想到能一次就考上安徽的数学教师编！笔试成绩86.6分，感觉还是挺幸运的。今天就来分享一下我的学习经验，希望能帮到正在备考的小伙伴们！数学部分首先，数学老师的选择很重要。我平时会看一些网上的教学视频，比如陈庆安老师的每日一题讲解，赵礼显老师的系统讲解，还有佟大大和ETT的通俗易懂的教学视频。这些老师的讲解方式都很有趣，不会让人觉得枯燥。刷题资料也是必不可少的。我主要用了初中数学(名师课堂)、数学公式定理（免费讲解数学公式）、洋葱学园（课程同步讲解各种知识点）、第一试卷网（各学科真题都有）和百题大过关（以选择题为主，按模块练习）。这些资料都很有帮助，特别是百题大过关，里面的题目类型很全面。经验总结在备考过程中，我总结了一些经验：集合、函数、导数与不等式：这些内容虽然有点难，但只要跟着小破站上的视频看懂理论公式，再跟着例题练习，基本就没问题了。数列：等差数列和等比数列的通项与求和是重点，建议花2-3周时间认真学。三角函数、平面向量和解三角形：掌握五组基本公式，了解三角函数的图像与性质，正弦定理与余弦定理解三角形，平面向量可能会考察一个选择题或填空题。复数：复数是高中最简单的一个内容，高考必考5分，平时考试也是必考题目，通常位于试卷选择题型的前3题内。建议花1周时间认真学习。立体几何：几何体的三视图、空间点线面的关系及空间角的计算是重点，用空间向量解决点线面的问题是重点（证明题）。解析几何：直线与圆锥曲线的位置关系（椭圆、双曲线、抛物线），动点问题，轨迹方程的探求以及最值范围、定点定值、对称问题。圆锥曲线会考察一个大题和一个选择题，选择题属于中等题。大题第一问属于基础题，第二问属于压轴题！建议耗时2-3周。概率与统计：独立事件和独立重复事件发生的概率，互斥事件、古典概型等这个内容的大题是最简单的，内容也较好理解。建议花1周时间。教综部分教综部分我主要用了山香大红本、粉笔6000题、山香客观3600、山香真题卷和教综大默写等资料。网课方面，黎响招教课讲得很全面，案例、题型、关键词都一一拉小框架总结的，还有教综速记口诀。教育学、心理学和教心学都有详细的讲解。教育学分值占比35%，重点章节是一、四、六、七、八章节；心理学分值占比20%，重点章节是二、三四章；教心学分值占比30%，重点章节是二、三、四、五章节。小三门（《未成年保护法》、《教师法》、《义务教育法》《中小学教师职业道德规范》《中小学教师职业行为十项准则》《新课改背景下的教师观、学生观》）主要是识记性的小知识点，记准关键词和主题、年龄就行，出题也很简单。希望这些经验能帮到正在备考的小伙伴们！祝大家都能顺利上岸！𐟒ꀀ

建筑实务哪个老师讲的比较好中级经济师考试倒计时3️⃣5️⃣天啦！𐟓– 学习进度经济基础：刘艳霞的串讲已经完成37/37，全部搞定！✅ 建筑实务：郑春秋的串讲正在进行中，目前5/12，加油⌛️ 郑老师的建筑实务串讲班简直是个宝藏！听她讲课，情绪价值拉满。她的口头禅是：“这个不难，这不用背，非常好理解。”听完后，我有种自己都会了的恍惚感。希望刷题环节不要太打击我。𐟘… 知识点回顾资金时间价值：资金时间价值及等值计算、经济效果评价指标体系、投资项目经济效果评价指标（盈利能力分析指标、偿债能力分析指标）。投资方案类型：投资方案比选方法（互斥方案比选方法）、投资项目经济分析与评价方法（独立方案比选方法）。市场分析：宏观层次的市场分析（包括OP、人均CP、人均可文配收人）、中观层次的市场分析（对房地产并发企业主容观条传进行分析）、微观层次的市场分析（包括该区披房地产商品的供求分析、市场研判和客户分析等）。房地产开发项目市场定位：客户定位（对具有不同需求的房地产消费群体进行区分的过程）、项目定位（确定具体开发项目的消费群体）。项目开发战略选择：SWOT分析（通过综合分析和系统评价企业内外部环境，从而选择最佳战略）、项目开发战略（包括SO战略、WO战略、ST战略、WT战略）。项目主题创意：主题创意确定了开发项目最显著的特征，能够凸显项目个性，避免项目同质化。希望这些信息对大家备考有帮助！加油，我们一起冲！𐟒ꀀ

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相互独立事件同时发生的概率公式-相互独立事件的定义和性质-相互独立事件和互斥事件的区别
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15.3互斥事件和独立事件：互斥事件课件（15张）2021-2022学年高一数学（苏教版2019必修第二册）-21世纪教育网
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