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复合函数的连续性新上映_ln的复合函数求导公式(2024年11月抢先看)

内容来源：冲顶技术团队所属栏目：导读更新日期：2024-11-29

复合函数的连续性

高数极限与连续知识点总结，你掌握了吗？ 𐟓š 函数的概念与性质映射：函数的基础是映射，复合映射和逆映射对应复合函数和反函数。一元函数：理解自变量、因变量、值域和定义域的概念。奇偶性和周期性：研究函数性质和作图时很重要，注意周期函数的表达形式f(x+T)=f(x)，周期是最小正周期。单调函数：单调函数在定义域内必存在反函数。值域：利用上界与下界、无界来理解值域。初等函数：记忆和理解常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数与反三角函数的性质。 𐟓ˆ 极限的概念与性质数列收敛与发散：理解数列收敛于a和发散的定义。函数的极限：理解函数的极限和单侧极限，必要条件是左极限与右极限均为a。极限的性质：唯一性、局部保号、保序性、海涅定理。 𐟓‘ 极限的运算极限法则：掌握复合函数求极限的法则。夹逼定理：重要且需要多做题来理解。单调有界定理：常考点。重要极限：求极限的基础。 𐟓 无穷小量与无穷大量无穷小量：理解高阶、同阶、低阶和等价无穷小量的概念，以便灵活代换。 𐟌ˆ 函数的连续性连续函数的概念：仔细理解。复合函数的性质：理解复合函数的连续性。初等函数的连续性：一切初等函数在定义域内都是连续的。间断点的定义：理解第一类和第二类间断点的定义、区别和联系。最大值最小值：闭区间内连续函数的最大值最小值和有界性定理。介值定理：证明题常考点，用于证明某区间内函数存在零点。

高等数学笔记：函数、极限、无穷小、连续 𐟓š 常用基础知识数集：常用的数集包括自然数集、整数集、有理数集和实数集。平方差公式、立方差公式、立方和公式：这些公式在计算和证明中非常有用。完全平方公式、完全立方公式：这些公式可以帮助我们更简单地处理平方和立方的问题。十字相乘法、求根公式法：这些方法在解一元二次方程时非常实用。一元二次不等式、绝对值不等式：这些不等式在解决各种数学问题中都有应用。 𐟔 函数定义域、值域、对应法则：这是理解函数的基础。六大类基本初等函数：包括多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数和复数函数。二倍角公式、降幂公式：这些公式可以简化三角函数的计算。常见的三角函数值：如正弦、余弦、正切等。有界性、单调性、奇偶性、周期性：这些性质可以帮助我们更好地理解函数的性质。求反函数、复合函数：这些操作在函数变换中非常常见。 𐟓ˆ 数列极限等差数列、等比数列：这些数列是数列极限的基础。数列极限的四则运算：包括加法、减法、乘法和除法。无穷比无穷型极限的计算：这种极限的计算方法非常重要。无限项数列极限的计算：包括收敛和发散的情况。夹逼准则：这个准则在证明数列极限时非常有用。 𐟓‰ 函数极限函数极限的四则运算法则：包括加法、减法、乘法和除法。需要计算左右极限的情况：这在实际计算中非常常见。零比零型极限的计算：这种极限的计算方法非常重要。无穷减无穷型极限的计算：这种极限的计算方法也比较常见。两个重要极限：包括洛必达法则和夹逼准则。 1的无穷次方型极限的计算：这种极限的计算方法也比较重要。 𐟌€ 无穷小无穷小性质：无穷小的性质可以帮助我们更好地理解极限的概念。两个无穷小阶的比较：包括高阶无穷小和低阶无穷小的比较。常见的等价无穷小代换：这些代换在计算中非常实用。极限的反问题：通过反问题可以更好地理解极限的概念。 𐟖𜯸 连续左连续与右连续：这是理解连续性的基础。函数在一点处连续的充要条件：包括左连续和右连续的条件。连续函数的四则运算：包括加法、减法、乘法和除法。复合函数的连续性：复合函数的连续性是函数连续性的重要部分。函数间断点的分类：包括可去间断点和跳跃间断点等。闭区间上连续函数的性质：这些性质可以帮助我们更好地理解闭区间上连续函数的性质。初等函数的连续性：初等函数的连续性是函数连续性的基础。

大一高数听不懂？这些资料帮你轻松搞定！大一高数听不懂？别担心，直接看这些资料！𐟓š 𐟓– 高等数学上册知识点函数与极限函数定义及性质：有界性、单调性、奇偶性、周期性。反函数、复合函数、函数的运算。初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、双曲函数、反双曲函数。函数的连续性与间断点：重点！函数在x0连续，lim f(x)=f(x0)。极限存在准则：夹逼准则、单调有界准则。无穷小（大）量：定义、无穷小的阶（高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k阶无穷小）。求极限的方法：单调有界准则、夹逼准则、极限运算准则及函数连续性、两个重要极限。导数与微分导数定义：lim(x→x0) [f(x) - f(x0)] / (x - x0)。左导数和右导数：f'(x0) = lim(x→x0) [f(x) - f(x0)] / (x - x0)。可导与连续的关系：可导必连续，但连续不一定可导。求导的方法：导数定义、基本公式、四则运算、复合函数求导（链式法则）、隐函数求导数、参数方程求导数、对数求导法。高阶导数：定义、Leibniz公式。微分中值定理与导数的应用中值定理：Rolle定理、Lagrange中值定理、Cauchy中值定理。洛必达法则：重点！ Taylor公式：不考。单调性及极值单调性判别法：若f'(x)>0，则f(x)单调增加；若f'(x)<0，则f(x)单调减少。极值及其判定定理：必要条件、第一充分条件、第二充分条件。凹凸性及其判断，拐点：判定定理、拐点定义。不等式证明利用微分中值定理。利用函数单调性。利用极值（最值）。方程根的讨论连续函数的介值定理。 Rolle定理。函数的单调性。极值、最值。凹凸性。渐近线铅直渐近线：lim f(x) = ∞，则x=a为一条铅直渐近线。水平渐近线：lim f(x) = b，则y=b为一条水平渐近线。斜渐近线：lim [f(x) - kx] / (x - x0) = b存在，则y=kx+b为一条斜渐近线。图形描绘不定积分概念和性质：原函数、不定积分、基本积分表（13个公式）。换元积分法：第一类换元法（凑微分）、第二类换元法（变量代换）。分部积分法：重点！有理函数积分：拆分、变量代换（三角代换、倒代换、根式代换等）。定积分概念与性质：定义、性质（7条）。性质7（积分中值定理）：函数f(x)在区间[a,b]上连续，则存在c∈[a,b]，使得∫f(x)dx = f(c)(b-a)。

2024年山东专升本数学大纲详解 𐟓š 2024年山东专升本数学考试大纲来啦！小伙伴们，赶紧收藏起来，按照大纲来复习吧！𐟓– 函数、极限与连续函数理解函数的概念，会求函数的定义域、表达式及函数值，能建立应用问题的函数关系。掌握函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性。理解分段函数、反函数和复合函数的概念。掌握函数的四则运算与复合运算。熟悉基本初等函数的性质及其图形，理解初等函数的概念。了解经济学中的几种常见函数（成本函数、收益函数、利润函数、需求函数和供给函数）。极限理解数列极限和函数极限（包括左极限和右极限）的概念，理解函数极限存在与左极限、右极限存在之间的关系。掌握数列极限和函数极限的性质，熟练掌握它们的运算法则。熟练掌握两个重要极限m-=1(-)=8，并会用它们求极限。理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系。会比较无穷小量的阶（高阶、低阶、同阶和等价）。会求二元函数的无条件极值。二重积分理解二重积分的概念、性质及其几何意义。掌握二重积分在直角坐标系下的计算方法。常微分方程微分方程的定义理解微分方程的阶、解、通解、初始条件和特解等概念。可分离变量微分方程的解法。一阶线性微分方程的解法。二阶常系数齐次线性微分方程的解法。考试形式与题型范围考试形式考试采用闭卷、笔试形式。试卷满分100分，考试时间120分钟。题型范围选择题、填空题、判断题、计算题、解答题、证明题、应用题。其他重要内容不定积分熟练掌握不定积分的基本公式。熟练掌握不定积分的换元积分法和分部积分法。掌握简单有理函数的不定积分的求法。定积分理解定积分的概念及几何意义，了解可积的条件。掌握定积分的性质及其应用。理解积分上限的函数，会求它的导数，掌握牛顿-莱布尼茨公式。熟练掌握定积分的换元积分法与分部积分法。会用定积分表达和计算平面图形的面积。小伙伴们，按照这个大纲来复习，祝大家都能顺利通过考试，加油！𐟒ꀀ

大一高等数学知识点全解析，轻松掌握！ 𐟓š 高等数学对于许多同学来说是个不小的挑战，但别担心，这里为你整理了高数常考知识点，帮助你轻松应对！ 𐟔 函数与极限函数定义及性质：有界性、单调性、奇偶性、周期性。反函数、复合函数、函数的运算。初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、双曲函数、反双曲函数。函数的连续性与间断点：重点掌握。闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理（重点）、介值定理及其推论。 𐟚€ 极限极限定义：数列极限和函数极限。极限存在准则：夹逼准则、单调有界准则。无穷小（大）量：定义、无穷小的阶（高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k阶无穷小）。求极限的方法：单调有界准则、夹逼准则、极限运算准则及函数连续性、两个重要极限（重点）、无穷小代换（x→0）（重点）。 𐟓ˆ 导数与微分导数定义：f'(x)=lim(f(x)-f(x))/x-x。几何意义：f(x)为曲线y=f(x)在点(x,f(x))处的切线的斜率。可导与连续的关系。求导的方法：导数定义（重点）、基本公式、四则运算、复合函数求导（链式法则）（重点）、隐函数求导数（重点）、参数方程求导（重点）、对数求导法（重点）。高阶导数：定义及Leibniz公式。微分定义：Ay=f(x+Ar)-f(x)=Ar+o(Ar)，其中Ar与x无关。可微与可导的关系：可微→可导，且dy=f'(x)Ar=f(x)dx。 𐟌€ 微分中值定理与导数的应用中值定理：Rolle定理、Lagrange中值定理、Cauchy中值定理。洛必达法则（重点）。 Taylor公式（不考）。单调性及极值：单调性判别法、极值及其判定定理（必要条件、第一充分条件、第二充分条件）。凹凸性及其判断，拐点。 𐟌𑠥ŽŸ函数与不定积分原函数：在区间I上，若函数F(x)可导，且F'(x)=f(x)，则F(x)称为f(x)的一个原函数（重点）。不定积分：在区间I上，函数f(x)的带有任意常数的原函数称为f(x)在区间I上的不定积分。基本积分表（P188,13个公式）（重点）。性质（线性性）。换元积分法（重点）：第一类换元法（凑微分）、第二类换元法（变量代换）。分部积分法（重点）。有理函数积分：“拆”、变量代换（三角代换、倒代换、根式代换等）。 𐟌ˆ 定积分概念与性质：性质乙（积分中值定理）。微积分基本公式（N-L公式）（重点）：变上限积分、NL公式。换元法和分部积分（重点）：换元法、分部积分法。反常积分：无穷积分、瑕积分。体积：旋转体体积（重点）、平行截面积已知的立体。弧长：直角坐标、参数方程、极坐标。 𐟓– 微分方程概念与性质：了解微分方程的基本概念和性质。掌握常见微分方程的解法，如一阶微分方程、二阶微分方程等。了解微分方程在实际问题中的应用。

数学分析必考题型汇总，轻松掌握！ 𐟓š 理清数学分析考试题型，有助于更好地复习哦～判断开集、闭集、有界集、区域，指出聚点、界点、内点证明集合为闭集：聚点都属于集合求二元函数的极限：直接求或者追敛性讨论二元函数的重极限和累次极限求二元函数的重极限：y=x，极限不存在累次极限存在不相等，重极限不存在讨论函数的连续性：主要看区域分界点的连续性求偏导数：将另一变量看成常量求导证明偏导数不存在：定义求极限考察函数可微性：反证法求全微分：直接求给定点的全微分求切平面方程和法线方程：切平面和法线方程的求解计算近似值：f(x, y)≈f(x0, y0)+fx(x0, y0)dx+fy(x0, y0)dy 求复合函数的偏导数或导数：链式法则求复合函数的全微分：直接求证明等式：质求偏导数求方向导数：f(x, y, z)=fx(p0)cosa+fy(p0)cosfz(p0)cos求梯度：gradf(p0)=(fx(p0), fy(p0), fz(p0)) 求泰勒公式：f(x+dx, y+dy)=f(x, y)+fx(x, y)dx+fy(x, y)dy+fxx(x, y)dxⲫfxy(x, y)dxdy+fy(x, y)dyⲊ求高阶偏导数：注意复合函数的高阶求导，在一阶求导后f与两个中间变量都还有关求极值点：先求出fx=0，fy=0的点，再求fxx，fxy，fy，最后判断极值类型求最值：在稳定点、不连续点、边界点中比较出最值是否存在隐函数：隐函数存在性定理：F(x0, y0)=0，Fy、F连续，Fy≠0 求隐函数导数：先去除fy=0的点，然后求f(x)=-(Fx/Fy) 求平面曲线的切线方程和法线方程求空间曲线的切线方程和法平面方程：两种情况（如求某曲线的切线平行某个平面）求平面的切平面和法线方程（如求某平面的切平面平行某个平面）求条件极值：L(x, y, z, =f(x, y, z)+h1(x, y, z)+h2(x, y, z))，求解方程组：Lx，Ly，Lz，…L0，求得稳足点，判断是否为极值点，是否取极值或最值拉格朗日乘数法应用：重新求水箱设计的问题，解拉格朗日函数L(x, y, z, A)=2(xz+yz)+xy+(xyz-V)，令偏导数等于0，求解方程组，得到最小值S=3(2V)Ⲁ

广西专升本数学考试大纲详解，你了解多少？嘿，同学们！最近是不是在为广西专升本考试发愁？特别是数学这一科，是不是觉得难度有点大？别担心，今天我就来给大家详细解读一下广西专升本数学考试大纲，看看你们都了解多少。考试内容概览 𐟓š 首先，数学在专升本考试中可是公共基础课，主要考察的是大家的基础知识、数学思维能力、数学运算能力以及运用数学分析、解决实际问题的能力。说白了，就是看你是不是系统掌握了数学的基本理论知识。一元函数微积分学 𐟓ˆ 这部分内容主要包括函数、极限与连续、一元函数导数与微分以及一元函数积分学。具体来说：函数、极限与连续：理解函数的概念，掌握简单函数的定义域、值域的求法和函数的表示法；了解函数与其反函数之间的关系；掌握函数的四则运算与复合运算；理解基本初等函数的简单性质及其图像；了解极限的概念；掌握极限的四则运算法则和复合函数的极限运算法则；掌握两个重要极限及其应用；理解无穷小与无穷大的概念、性质及两者之间的关系；掌握用等价无穷小代换法求极限；理解函数连续性的概念，了解函数间断点的定义；掌握连续函数四则运算及复合运算的连续性；了解闭区间上连续函数的性质。一元函数导数与微分：理解导数的定义、函数可导与连续的关系；理解导数的几何意义；掌握基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则及复合函数的求导法则；会隐函数求导法、反函数求导法；理解高阶导数的定义，掌握函数的二阶导数计算方法；理解微分的定义，掌握微分的基本公式、运算法则；了解微分的一阶微分形式不变性。一元函数导数的应用：了解微分中值定理——罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理；掌握用洛必达法则求未定式极限；掌握函数单调性的判定方法；理解函数极值的概念，并掌握其求法；掌握函数最值的求法及简单应用；了解曲线的凹凸性和拐点的含义；了解函数作图的主要步骤。一元函数积分学：理解原函数与不定积分的概念，理解不定积分的基本性质；掌握不定积分的基本积分公式；掌握不定积分的直接积分法、换元积分法与分部积分法；理解定积分的概念及其性质；理解积分变上限函数及其求导定理；掌握牛顿一莱布尼兹公式；掌握定积分的直接积分法、换元积分法和分部积分法；理解广义积分的概念，掌握广义积分的计算方法；掌握定积分的简单应用。常微分方程 𐟌€ 这部分主要考察大家对微分方程的理解和求解能力：了解微分方程的阶及其解、通解、初始条件和特解的概念；掌握可分离变量的微分方程、一阶线性微分方程的求解方法；掌握用降阶法求解高阶微分方程；了解二阶线性微分方程解的结构；掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法。考试形式与试卷结构 𐟓 考试形式是闭卷、笔试，满分150分，考试时间120分钟。题型结构如下：单项选择题：共10题，每题5分，共50分。填空题：共4题，每题5分，共20分。计算题：共7题，每题8分，共56分。应用题：共2题，每题12分，共24分。小结 𐟓 总的来说，广西专升本数学考试大纲的内容还是比较全面的，涵盖了函数的定义、极限与连续、导数与微分以及积分等多个方面。希望同学们能够认真复习，掌握这些基础知识，争取在考试中取得好成绩！加油！𐟒ꀀ

2023年合肥工业大学数学分析试卷解析这套试卷难度适中，主要考察学生的计算能力和对基本概念的理解。以下是对各道题目的详细解析：第一题 𐟓ˆ 考察累次极限和重极限的概念，属于送分题。第二题 𐟓‰ 涉及简单复合函数的偏导数计算和链式法则，同样是送分题。第三题 𐟓Š 应用实数完备性定理的一个推论，需要一定的理论知识和计算技巧。第四题 𐟓 考察罗尔定理，属于基础题目。第五题 𐟓ˆ 涉及泰勒定理的应用，掌握套路后可以轻松解答。第六题 𐟓‰ 考察分段法的应用，强化记忆上有类似题目。第七题 𐟓Š 综合题目，从函数化简到幂级数展开再到比较判别法，难度较高，考验计算技巧。第八题 𐟓 考察幂级数的收敛域和连续性问题，属于基础题目。第九题 𐟓ˆ 考察广义积分的运算，方法巧妙，掌握后可以轻松解答。第十题 𐟓‰ 考察高斯公式的应用，注意三重积分的积分函数不能直接代曲面方程。第十一题 𐟓Š 第一型曲面积分的计算，代公式后进行两次变量替换即可算出。这套试卷整体难度中等，主要考察学生的计算能力和对基本概念的理解。通过仔细分析和计算，大部分题目都可以轻松解答。

考研数学一知识点全解析研究生入学考试的数学一主要考察本科时期学习的高等数学、线性代数和概率论与数理统计。以下是各部分知识点的详细总结： 𐟓š 高等数学函数极限与连续：函数的概念、定义域、值域、对应法则，函数的单调性、有界性、周期性和奇偶性，复合函数、反函数和隐函数，基本初等函数和初等函数。数列极限与函数极限：定义，左极限和右极限，无穷小量的概念和比较，极限的四则运算，极限存在的两个准则（单调有界夹逼和洛必达法则），两个重要极限。函数连续性与间断点：初等函数的连续性，闭区间连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理）。导数与微分：导数和微分的概念，几何意义和物理意义，四则运算，函数连续与可导的关系，平面曲线的切线和法线，基本初等函数的导数，复合函数、反函数和隐函数的导数，参数方程确定的函数的导数，高阶导数。中值定理与不等式：中值定理，不等式与零点问题，导数的应用。积分：原函数与不定积分的概念，不定积分的基本性质和基本积分公式，定积分的概念和基本性质，积分上限函数及其导数，牛顿-莱布尼茨公式，换元积分和分部积分，反常积分（广义积分），定积分的应用（平面图形的面积、曲线弧长、旋转体体积、侧面积等）。 𐟓Š 线性代数行列式：行列式的概念和基本性质，行列式按行展开定理。矩阵：矩阵的概念，单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵和反对称矩阵及其性质，矩阵的线性运算和乘法，方阵的幂和方阵乘积的行列式，矩阵的转置。逆矩阵：逆矩阵的概念和性质，矩阵可逆的充分必要条件，伴随矩阵。矩阵的初等变换：初等矩阵，矩阵的秩，矩阵的等价。分块矩阵：分块矩阵及其运算。向量：向量的概念，向量的线性组合与线性表示，向量组的线性相关与线性无关，极大线性无关组，等价向量组，向量的内积。线性无关向量组的正交规范法：施密特方法。特征值与特征向量：矩阵的特征值和特征向量的概念和性质，相似矩阵的概念与性质，矩阵可相似对角化的充分必要条件及相似对角矩阵。二次型：二次型及其矩阵表示，秩，合同变换与合同矩阵，标准形与规范形，惯性定理（正/负惯性指数），用正交变换和配方法化二次型为标准型。 𐟎悧Ž‡论与数理统计随机事件和概率：随机事件与样本空间，事件的关系与运算，完备事件组，概率的概念与基本性质。条件概率：概率的基本公式（加法、减法、乘法、全概率公式、贝叶斯公式），事件的独立性。随机变量及其概率分布：随机变量分布函数的概念与性质，离散型随机变量的概率分布，连续型随机变量的概率密度。常见的随机变量分布：0-1分布、二项分布B(n,p)、几何分布、超几何分布、泊松分布P()、均匀分布U(a,b)、正态分布N(𒩣€指数分布E()等及其应用。随机变量函数的分布：多维随机变量及其分布。大数定律和中心极限定理：切比雪夫不等式、切比雪夫大数定律、伯努利大数定律、辛钦大数定律、棣莫弗-拉普拉斯定理、列维林德伯格定理。数理统计的基本概念：总体个体简单随机样本统计量（样本均值、样本方差），样本据Xⲥˆ†布、F分布分位数正态总体常用的抽样分布。参数估计：点估计的概念（估计量与估计值），矩估计法和最大似然估计法。估计量的评选标准（无偏性、有效性、一致性）。区间估计的概念（单个正态总体的均值与方差的区间估计）。通过以上知识点的学习和理解，你将能够更好地应对考研数学一的挑战。

数学招教备考指南：轻松拿高分！ 𐟎“ 数学老师推荐：赵礼显老师：适合有一定基础的同学，主要讲解高中各章节的易错考点。一数老师：适合基础薄弱的同学，从高中基础考点开始讲解，资源丰富。佟大大或ETT：适合中后期提升阶段，帮助复习和掌握真题技巧。陈庆安老师：典型的案例真题讲解，适合突击训练。蔡德锦老师：详细讲解各种重难点板块，应试技巧强。 𐟓š 数学重点知识点：函数与方程、不等式结合问题，数列问题，这些是大题常考内容。平面几何和解析几何也有大题，平面几何主要考四边形和圆。概率主要考查n次独立事件，了解简单事件的期望和方差即可。统计需要了解各种统计图。高等数学常考极限、导数、积分相关内容，备考时需重点掌握极限公式、函数的连续性、抽象复合函数求导数。基础薄弱的同学可以看网课。课标主要考察课程性质、基本理念、目标和内容，背诵即可。教学设计需要结合课题总结几个框架进行练习。 𐟓 刷题推荐：一数必刷山香《小学数学高分题库2000题》五三数学金考卷45套对于有基础的同学，只需关注少量的重难点，直接看老师讲解即可。整体难度在高考难度左右，不用太紧张。拉开差距的其实在教综上，毕竟大家基本上同一起跑线。 𐟓– 教综备考建议：按照教育学-心理学-教心学-小三门的顺序复习，有主次，有侧重。教育学知识琐碎但基础，学的时候要注意梳理框架，相关人物、理论理清后，每天花时间背诵就没太大问题。心理学专业性很强，可以结合真实案例帮助理解，整理易混考点成表格进行异同比较。教心学主要利用基础理论解决实际问题，应用型强，除了理解记忆外，掌握做题思维和技巧是重中之重。小三门占比不高但也别放弃，快速跟网课过一遍，把重点背会。