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范数最新娱乐体验_范数的定义及例子(2024年11月深度解析)

内容来源：冲顶技术团队所属栏目：话题更新日期：2024-11-28

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[LG]《Rethinking Softmax: Self-Attention with Polynomial Activations》H Saratchandran, J Zheng, Y Ji, W Zhang, S Lucey [University of Adelaide] (2024)网页链接「机器学习」「人工智能」「论文」

机器学习必备线性代数知识速查手册 ### 向量和矩阵的基本概念 𐟓 向量：向量是空间中的一个点或一组坐标的有序数组。简单来说，它就像一个箭头，指向某个方向。矩阵：矩阵是由一组行和列组成的矩形阵列，每个元素都可以用行和列的索引来标识。就像一个表格，每个格子都有一个值。向量的加法和标量乘法 𐟔„ 向量的加法：就是把两个向量的对应元素加起来。标量乘法：就是用一个标量（也就是一个数）乘以向量，结果是一个新的向量。这两个操作都可以表示向量之间的线性组合。向量的长度和单位向量 𐟓 向量的长度：也叫范数或模，是向量的大小或长度，可以用勾股定理来计算。单位向量：长度为1的向量，用来表示方向。就像一个单位圆上的点，长度总是1。矩阵的转置和逆矩阵 𐟔„ 矩阵的转置：把矩阵的行和列互换得到的新矩阵。就像把表格转个90度。逆矩阵：如果一个矩阵A存在逆矩阵A^-1，那么A*A^-1=I，其中I是单位矩阵。就像一个方程的解，有且只有一个。矩阵的乘法和行列式 𐟓ˆ 矩阵的乘法：两个矩阵相乘得到的新矩阵，需要满足第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数。就像两个表格的乘积。行列式：一个方阵的行列式是一个标量值，表示该矩阵的行和列的线性关系。就像一个方程组的系数。特征向量和特征值 𐟌€ 特征向量：对于一个矩阵A，如果存在一个非零向量v，使得Av=，其中˜露€个标量，那么v就是A的特征向量。特征值：对于一个矩阵A和它的特征向量v，˜ﶧš„伸缩因子，称为A的特征值。就像一个弹簧的劲度系数。矩阵的奇异值分解 𐟔犥凥𜂥€𜥈†解：将一个矩阵分解为三个矩阵的乘积，其中一个是左奇异矩阵、一个是右奇异矩阵，另一个是对角矩阵。就像把一个复杂的机器拆分成几个简单的部分。矩阵的范数 𐟓 矩阵的范数：矩阵的范数是矩阵向量的一种推广，用来衡量矩阵在空间中的大小。常用的矩阵范数包括L1范数、L2范数和Frobenius范数。就像一个物体的重量或体积。向量空间和线性变换 𐟌 向量空间：一个向量空间是由一组向量和一组标量（通常是实数或复数）构成的集合，满足一定的线性性质。线性变换：一个线性变换将一个向量空间中的向量映射到另一个向量空间中的向量，并保持向量空间的线性性质不变。就像一个函数，输入一个值，输出一个新的值。线性方程组和解的表示 𐟓 线性方程组：一组线性方程的集合，其中每个方程都是形如a1x1 + a2x2 + ... + anxn = b的形式。就像一堆方程组。解的表示：线性方程组的解可以表示为向量x的形式，其中x的每个元素对应一个未知数的解。就像一个方程组的解集。特征分解和奇异值分解的应用 𐟛 ️ 特征分解：一些数学问题可以通过特征分解来求解，例如求解矩阵的特征向量和特征值，或者求解线性方程组的解。奇异值分解：奇异值分解常用于数据压缩和降维等领域，例如在主成分分析（PCA）中，可以使用奇异值分解来求解数据的主成分。就像用一些简单的部分来描述一个复杂的事物。

华科2023年高等工程数学试卷考点解析 𐟓 选择题：可逆概念的理解可对角化概念的理解线性方程组Jacobi/Gauss-Seidel迭代方法的收敛性判别迭代法的稳定性判断抽样分布的几个定理统计量中无偏性概念的辨别 𐟖‹️ 填空题： Hermite插值多项式满秩分解求cosx的一次最佳一致逼近给定数值求积公式形势下的代数精度矩阵的二范数极大似然估计法 𐟓 解答题：线性空间基的证明及线性空间的变换在不同基下的矩阵表示 Jordan标准型及e^At的求解 Gauss-Legendre和Gauss-Chebyshev两点求积公式（需对积分区间进行变换）方程零点存在性证明及迭代法解方程的收敛性证明数据的最小二乘拟合已知正态分布的均值和方差，求样本均值的单侧假设检验和样本方差的双侧假设检验

数值分析期末考试知识点总结刚结束数值分析的期末考试，来总结一下我的学习笔记吧。第一章：误差截断误差和舍入误差 𐟓‰ 近似数有效位数的概念 𐟓Š 绝对误差、绝对误差限、相对误差和相对误差限的概念 𐟓 和差积商的误差估计 𐟓 数值计算中应遵循的原则 𐟓œ 第二章：非线性方程数值解二分法求解非线性方程 𐟓ˆ 简单迭代法求解非线性方程 𐟔„ Newton迭代法求解非线性方程 𐟐‚ 弦截法求解非线性方程 𐟓– 迭代收敛的概念 𐟔„ 迭代收敛判定方法 𐟓 第三章：线性方程组的直接法和迭代法 Gauss消元法和列主元消元法 𐟓 三角分解法和三对角方程组的追赶法 𐟏ƒ‍♂️ 向量和矩阵的范数 𐟓 方程组的性态判定 𐟔 一般迭代法收敛的判定 𐟓Š Jacobi迭代法及收敛的判定 𐟓 迭代计算的误差估计 𐟓 第四章：插值法和拟合代数插值及其余项表达式 𐟓Š Lagrange插值法 𐟓– Newton插值法 𐟐‚ Hermite插值法 𐟓 三次样条插值三弯矩法 𐟓 曲线拟合的最小二乘法 𐟓Š 这次考试虽然有点紧张，但总体来说，我对这些知识点的掌握还是比较扎实的。希望这些总结能帮到大家！

如何平衡学习、工作与家庭？今天的学习日程安排得满满当当。早上，我投入了3小时的学习，从导数、微分到向量、行列式、矩阵、积分、极点、鞍点、范数、内积、定数、凸集、最优解、拉格朗日函数……仿佛是把大学所有科目的数学知识点都回顾了一遍，沉寂了20多年的知识如同被唤醒的狮子。𐟦 下午，我转战科技论文写作课程，老师用中英文夹杂的方式讲解，对照摘要和简介的范例，分析了常见的语法、时态和语态错误。𐟓 在这期间，我切换到公司，检查了一位加班同事的作业，并询问了另一位同事的进展和效果。𐟑颀𐟒𜊊同时，我一边听西交大学报的讲座，一边记录新知识：如何选择目标发表期刊，以及发表论文的注意事项和逻辑顺序。𐟓š 老师总结了知识点，并要求学生结对子，互相批改点评作业，还布置了限期作业。𐟓 之后，我与另一位同事进行了简短的沟通，坚定了我的一个想法，并减轻了惶恐。𐟑颀𐟒𜊊最后，我联系了一位朋友，准备启动新的篇章。𐟓 结束了一天的学习和工作，我赶去与儿子汇合，他上课，我准备放松一下，看看自己喜欢的书，做做读书摘录。𐟓– 想想自己奔五年纪，一边读博，一边工作，一边照顾读高三的孩子，一直在努力再努力，虽然辛苦，但难免顾此失彼。𐟑颀𐟎“ 到底如何平衡学习、工作和家庭呢？你认为成功的女人应该如何定义？你认识的成功女人有哪些特征？你最佩服她哪一方面？𐟤”𐟒က

数学天才三年70篇论文，新突破！最近有个数学大神火了，听说他每天能写20页论文，简直是个数学界的打印机𐟖诸。这位大神就是陶哲轩的学生，读博三年竟然写了70篇顶级期刊的论文，每年产出8篇100页的论文，真是让人佩服得五体投地。这位大神名叫Mehtaab Sawhney，他本科期间就已经发表了20多篇数学论文，两年半就从MIT本科毕业，简直是天才中的天才。他在拉姆齐数方面取得了重大突破，给出了新的上限，被认为是“使用现有研究线索可以获得的最佳结果”。更有趣的是，他的这些成就都是在数论领域取得的。数论一直是个充满挑战的领域，尤其是组合数学中的一些难题。就在本科期间，Mehtaab和他的导师陶哲轩联手攻克了组合数学中的一个难题，取得了23年来的重大突破。这个突破具体体现在对Szemeredi定理的改进上。Szemeredi定理是组合数学中的一个大问题，关于无序中证明有序的难题。Mehtaab和他的团队利用最新的准多项式界来改进了Gowers的U^k-范数和密度递增策略，最终取得了突破。这个突破不仅让数学界眼前一亮，也让更多的人对组合数学的未来充满了期待。希望这位大神能在未来的研究中继续创造更多的奇迹。

人工智能之数学基础：矩阵的范数

神经网络训练：SGD与Adam优化器对比在神经网络训练中，Adam优化器和SGD（随机梯度下降）各有千秋。Adam优化器类似于带符号的SGD，其更新量的尺度与梯度大小关系不大，这使得Adam在调整时相对容易。而SGD的更新量则直接受梯度大小的影响，因此SGD的调整较为复杂。 𐟔 对于SGD，如果损失函数（loss）增大k倍，梯度也会相应增大k倍。这意味着损失函数的尺度和学习率（learning_rate）都会对训练过程产生影响。 𐟓‰ 对于SGD，如果网络的不同部分梯度差异很大（例如数量级差异），这会导致网络各部分的训练难以协调，梯度小的部分更新速度会非常缓慢。 𐟔 为了更好地理解网络的训练过程，建议你在训练时打印出每一层梯度的范数（norm）。具体操作是对每一层每个参数的范数取均值，最后再取对数，这样可以直观地看到梯度的大小和数量级差异。如果累计梯度太小或者梯度大小不平衡，这些问题将一目了然。通过这些方法，你可以更好地监控和调整神经网络的训练过程，从而获得更好的模型性能。

[LG]《Characterizing Model Robustness via Natural Input Gradients》A Rodr㭧uez-Mu㱯z, T Wang, A Torralba [MIT CSAIL] (2024)网页链接「机器学习」「人工智能」「论文」