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极值点一定可导吗新上映_驻点一定是极值点(2024年11月抢先看)

内容来源:冲顶技术团队所属栏目:导读更新日期:2024-11-28

极值点一定可导吗

考研数一模拟卷复盘:张宇八套卷第七套 这套模拟卷的计算量确实有点大,花了134分钟才搞定。因为是分开做的,选填用了53分钟,大题用了81分钟。其中,第18题从第一步就开始错了,还有两道题我觉得不严谨,答案也可能有问题。 首先是填空题第12题。这道题其实有点争议,关于极值的定义有两种主流观点。我只认同一种,即大于等于或小于等于邻域的值都算是极值。这样的定义对于费马引理这些定理来说,比较严谨。费马引理可以描述为可导极值点必是驻点。然而,同济高数的定义是极值必须严格小于或大于某个邻域的值。这就导致在讲费马引理时,不是直接说可导极值点必驻点,而是说某个点的函数值大于等于或小于等于某一个邻域的值时,若该点处可微则其为驻点。其实前面的条件就是正常的极值点定义。我看过的数学分析教材基本都是第一种定义,只有同济高数是第二种定义。这就出现问题了,因为考研考纲用的是同济高数的定义。目前市面上主流的教辅和我做过的习题,据我所知,张宇和李正元是按第一个定义,李林和李艳芳都是后一种定义,武忠祥的我还没遇到过这种问题,真题更是不会考这种争议题。所以这题我觉得a≥0或者a>0应该都是对的,甚至如果真的按照考研考纲的话,a>0是更合适的那个答案(虽然我觉得它很sb)。 然后是第21题。这题答案不严谨。其实考研考纲内是没法严谨做出来的。Bⲧš„特征向量一定是B的特征向量吗?Bⲧ›𘤼𜤺ŽCⲯ𜌂一定相似于C吗?这在考研考纲内压根就没这种说法吧。B的特征向量都是Bⲧš„特征向量是对的,但是倒过来要成立就得先证明,答案明显没有给证明。 还有第14题。这题我看已经有勘误了,不过不勘误也能做只是和答案不一样。搜了下别人的答案应该是34没错。 其他题目的话,第17题和第18题值得做,第19题太简单,第20题和第22题纯计算。

ln的定义域 如何求函数的定义域? 考试常考的定义域类型: 分式的分母不能为零; 偶数次根式的被开方式大于等于零; 对数函数的真数必须大于零; 反正弦和反余弦函数的定义域为[-1,1]。 判定极值的第一充分条件: 判断驻点和一阶不可导点左右两侧附近一阶导函数是否变号:如果一阶导函数变号,则一定是极值点;如果不变号,一定不是极值点。 判定极值的第二充分条件: 已知f'(x)=0,f"(x)0,则: 如果f"(xo)>0,则x=xo是f(x)的极小值点; 如果f"(xo)<0,则x=xo是f(x)的极大值点。 利用单调性证明不等式: 例如:证明当x>0时,ln(1+x)>x。 证明当x>0时,e^x>1+x。

武忠祥高数严选题第二章一元函数微分学详解 大家好,今天我们来聊聊武忠祥老师的高数严选题第二章——一元函数微分学。这一章可是数二考生们的重中之重,尤其是微分中值定理,几乎每年都会出一道大题。我自己在这方面比较薄弱,所以打算这周好好冲刺一下。 题目总结 𐟓 首先,我们来看看这些题目:1、7、8、9、11、14、29、33、45-54。 题目1:这道题选C,但D也没看。以后做这种前几题一定要小心再小心,不能肯定就跳过。 题目7:绝对值函数在分界点不可导,但这个函数在x=0处其实是可导的,因为第一项有个expx-1,x=0时为0。这个二级结论记住,很好用。 题目8:这种题就是根号下三项分别开根号取最大值,即f(x)=max{1,|x|,expx},很多项n次幂之和的n次根在n趋于无穷大的时候结果为最大项。 题目9:不要犯经错标零,另外④的反例也可以记住,有点像狄利克雷函数,x为有理数时取1,x为无理数时取0,处处不连续,这里可以类似取一个反例。 题目11:注意概念。驻点是一阶导为0的点,极值点是在子区间内取最小值的点,即驻点和极值点没有必然联系。另外,拐点是指一个点,驻点、极值点和零点都只是x坐标。 题目14:这里11和14可以一起思考,都是一样的。 题目29:不要犯经错标零,经常有这样的,题干只提到f(x)为连续函数,但要求一阶导数值,一般只能构造导数定义求。 题目33:比较经典的,也可作选择题。 题目45-54:微分中值定理证明题 这部分题目可以分为三类: 单中值:一般通过观察求证式和已知式构造辅助函数,再借助罗尔定理或拉格朗日中值定理求证。辅助函数的构造法要熟练。 双中值:如何判断是单中值还是双中值,两个中值都要出现一阶导,否则一般都不算双中值。证明的时候一般要把两个中值分在等式两边,再观察。一般要把区间分成两段,经常在两段分别用拉格朗日中值定理。 二阶导:出现二阶导,考虑用泰勒,在原函数、导函数信息多的点展开。或者用两次罗尔,等等。 45-48为单中值,49-52为双中值,53、54为二阶导。这两天打算狠狠冲一下微分中值定理。 希望这些总结能帮到大家,尤其是那些和我一样在微分中值定理上薄弱的小伙伴们。加油!𐟒ꀀ

拉格朗日定理 𐟓– 罗尔定理: 若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且在开区间(a,b)内可导,且f(a)=f(b),则存在c∈(a,b),使得f'(c)=0。 几何意义:在连续曲线上,若两端点处函数值相等,则曲线上必存在一点,使得该点的切线与x轴平行。 𐟓– 拉格朗日中值定理: 若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且在开区间(a,b)内可导,则存在c∈(a,b),使得f'(c) = [f(b) - f(a)] / (b - a)。 几何意义:在连续曲线上,若两端点处函数值存在差异,则曲线上必存在一点,使得该点的切线与连接两端点的直线平行。 𐟓– 洛必达大法: 当函数0/0或∞/∞型的极限存在时,可以通过洛必达法则来计算。具体步骤包括:0/0型时,求导数;∞/∞型时,取倒数并求导数。 应用场景:在计算函数极限时,洛必达法则是一种有效的工具。 𐟓– 最值问题与单调性: 通过一阶导数来判断函数的单调性。若函数在某区间内一阶导数大于0,则函数在该区间内单调递增;若一阶导数小于0,则函数单调递减。 利用二阶导数来判断函数的凹凸性。若二阶导数大于0,则函数在对应区间内凹;若二阶导数小于0,则函数凸。 𐟓– 极值问题与判别法: 通过比较函数在一阶导数为零的点处的函数值,可以找到函数的极值点。 利用极值点来判定函数的最大值和最小值。 𐟓– 凹凸性与极值点: 凹凸性是描述函数图像弯曲方向的概念。凹函数在任意一点处的切线都在函数图像的下方,而凸函数则在上方。 通过凹凸性来判断函数的极值点,进而找到函数的最大值和最小值。

𐟓š教育心得分享 | Day k+2 在学习的道路上,每一天都有新的挑战和收获。今天,我想分享一些关于数学和游泳的心得体会。 𐟔 首先,对于那些函数值为0的点,一定要特别留意!这些点可能是拉格朗日中值定理的关键点哦。 𐟓ˆ 在寻找极值时,别忘了考虑在一个小邻域内的最值。虽然这通常不是主流方法,但在某些情况下非常有用。 𐟓 对于变量分离法,能用的尽量用,这样讨论起来会简单很多。 𐟎﹤𚎧𛙥F•𐥛𞥃的函数,找极值点和拐点是有技巧的。极值点通常在导数为0或不存在的点处,只要两边一胜一负,就是极值点。而拐点则是切线水平和不存在的点,两边单调性不同就是拐点。 𐟒ᠥ函数的三阶导数也是有表达式的,只是需要对y求导转换成对x求导。记得在遇到反函数的高阶导数时,用这种方法试试。 𐟏Š‍♂️ 今天我还花了20分钟看了自由泳的视频,结果只呛了5口水。原来换气时不要抬头,而是用脖子和肩膀转动,这样就不会往下沉了。 𐟒ꠦ˜Ž天继续加油,迎接更多的挑战!阅读理解方面,我发现通过答案反推原文是可以理解的,但自己独立做还是不行。明天开始,我要多看看唐迟的书了! 希望这些分享能对大家有所帮助!

如何找到函数的极值点?𐟧ﻦ‰𞥇𝦕𐧚„极值点是一个重要的数学问题,它可以帮助我们理解函数的最大值和最小值。以下是寻找极值点的一般步骤: 找出驻点和不可导点𐟔 首先,我们需要找出函数f(x)的驻点和不可导点。驻点是使得函数导数等于零的点,而不可导点则是函数导数不存在的点。这些点通常通过解方程f'(x)=0或寻找f'(x)不存在的点来找到。 检查导数的符号𐟓‰𐟓ˆ 在找到驻点和不可导点后,我们需要考察这些点两侧附近f'(x)的符号。根据极值的第一充分判别法,如果f'(x)在驻点两侧的符号发生变化,那么该驻点可能是极值点。 利用二阶导数进行判断𐟔슠 如果函数的二阶导数容易求解,并且二阶导数在驻点处不为零,那么可以利用极值的第二充分判别法来判定。这种情况下,二阶导数的符号可以帮助我们确定极值的类型(极大值或极小值)。 按定义直接判断𐟓 在某些情况下,直接按照极值的定义来判断也是有效的。如果函数在某个点的左右两侧都达到最大或最小值,那么这个点就是极值点。 通过以上步骤,我们可以较为系统地找到函数的极值点。这些方法不仅适用于理论计算,也在实际问题中有着广泛的应用。

极值与拐点全解析,一张图搞定! 极值与拐点是数学中常见且重要的概念。以下是对这些概念的定义、必要条件和充分条件的总结: 极值定义 𐟓Š 极值是指函数在某一点处的最大值或最小值。如果对于任意的x,都有f(x) < f(x)(或f(x) > f(x)),那么点x就是函数f(x)的极大值点(或极小值点)。 必要条件 𐟔 函数f(x)在x处有定义。 函数f(x)在x处连续。 充分条件 𐟓ˆ 函数f(x)在x处可导,且f'(x) = 0。 函数f(x)在x处二阶可导,并且f''(x) = 0。 找点方法 𐟔 利用可疑点左右两侧的单调性来判断。 利用可疑点左右两侧的凹凸性来判断。简单来说,左增右减,取极大;左减右增,取极小;左右增减性相同,不取极值。 利用可疑点处二阶导的正负来判断。简单来说:f''(x) > 0,取极小;f''(x) < 0,取极大。 利用可疑点处三阶导是否为零来判断。简单来说:f'''(x) = 0,f(x) ≥ 0,取点;f'''(x) = 0,f(x) < 0,取极大。 结论 𐟓 通过以上方法,你可以轻松找到函数的极值点和拐点。记住这些定义和条件,多做几道练习题,就能熟练掌握这个知识点啦!

高数二专升本内容 𐟓Œ 考点一:无穷小量与无穷大量的概念 无穷小量:当自变量x→xp或x→∞时,函数f(x)的极限值为零,则称f(x)为无穷小量,记作limf(x)=0。常用希腊字母表示。 无穷大量:当自变量x→xp或x→∞时,函数f(x)的绝对值无限增大,则称f(x)为无穷大量,记作limf(x)=∞。 𐟓Œ 考点二:无穷小量的比较 高阶无穷小:lim0且lim0时,若lim0,则称˜羚”똩˜𖧚„无穷小量。 同阶无穷小:若limC且C≠0,则称˜露ŽŒ阶的无穷小量。 等价无穷小:若lim1,则称𘎎𒦘吝‰价无穷小量。 低阶无穷小:若lim0且lim0,则称˜羚”𝎩˜𖧚„无穷小量。 𐟓Œ 考点三:无穷小的等价代换定理 设a(x),x),x)是自变量x在同一变化过程中的无穷小量,且满足a(x)存在,则-a(x)≈x),在这一条件下有意义。常用等价无穷小包括sinx~tanx~arcsinx~arctanx等。 𐟓Œ 考点四:函数的微分 设函数y=f(x)在点x的某一邻域内有定义,在点x取一增量(且x+在该领域内),若函数y在点x处的增量=f(x+)-f(x),则可表示为=+o()。其中o()是比高阶的无穷小,则称函数y在点x可微(或可微分),并称为函数y在点x处对应于自变量增量的微分,记作dy或d/dx,即dy=。 𐟓Œ 考点五:导数的四则运算 设函数u(x),v(x)可导,则(uⱶ)'=u'ⱶ';(uv)'=u'v+uv';(ku)'=ku'(k为常数)。 𐟓Œ 考点六:可微与可导的关系 若函数f(x)在点x可微,则f(x)在点x可导,且dy=f'(x)dx。即F(x)在点x处的导数f'(x)等于函数微分dy与y=f(x)dx的商。因此,导数也叫微商。 𐟓Œ 考点七:函数可微的充要条件 函数y=f(x)在点x处可微的充要条件是函数f(x)在点x处可导且存在。 𐟓Œ 考点八:可微与连续的关系 若函数y=f(x)在点x处可微,则函数f(x)必在点x处连续。 𐟓Œ 考点九:函数极值的定义 设函数y=f(x)在点的某一邻域内有定义:若除点x外,在该邻域内恒有f(x)f(xo),则称f(x)在点xo处取得极小值。函数的极大值与极小值统称为函数的极值,函数的极大值点与极小值点统称为函数的极值点。 𐟓Œ 考点十:二元函数的极限 设函数z=f(x,y)在点P(xo,yo)的某一去心邻域内有定义,当点P以任意方式趋近于点Po时,函数f的值都趋近于一个确定的常数A,则称A是函数z当点P趋近于点Po时的极限。关于二元函数的极限,只要理解概念即可,不要求考生掌握求二元函数极限的方法。 𐟓Œ 考点十一:二元函数的连续性 如果函数z=f(

苏州科技大学2023年数学分析真题解析 𐟓š 苏州科技大学2023年数学分析真题解析来啦!让我们一起来看看这些题目吧。 𐟔 题目一: 给定函数f(x) = x^2 + 2x + 1,求f'(x)。 解析: 首先,我们需要找到函数f(x)的导数。根据导数的定义和多项式函数的求导法则,我们可以得到: f'(x) = 2x + 2 𐟔 题目二: 设函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 3x - 1,求f'(x)并判断其单调性。 解析: 同样,我们先求导数。利用多项式函数的求导法则,我们得到: f'(x) = 3x^2 - 6x + 3 为了判断函数的单调性,我们需要进一步分析f'(x)的符号。由于f'(x)是一个二次函数,我们可以通过求顶点的x坐标来判断其单调性。顶点的x坐标为x = -(-6) / (2 * 3) = 1。当x < 1时,f'(x) < 0;当x > 1时,f'(x) > 0。因此,函数在(-∞, 1)区间内单调递减,在(1, +∞)区间内单调递增。 𐟔 题目三: 设函数f(x) = x^2 - 4x + 3,求f'(x)并判断其极值点。 解析: 首先,我们求出f(x)的导数: f'(x) = 2x - 4 为了找到函数的极值点,我们需要解方程f'(x) = 0。解得x = 2。将x = 2代入原函数,得到f(2) = -1。因此,函数在x = 2处取得极小值-1。 𐟔 题目四: 设函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 3x - 1,求其驻点并判断其稳定性。 解析: 首先,我们求出f(x)的导数: f'(x) = 3x^2 - 6x + 3 驻点是函数的一阶导数为零的点,即解方程f'(x) = 0。解得x = 1和x = -1。将这两个点分别代入原函数,得到f(1) = -1和f(-1) = -1。由于两个驻点的函数值相同且小于0,根据稳定性定理,我们可以判断函数在(-∞, -1)和(1, +∞)区间内是稳定的,而在(-1, 1)区间内是不稳定的。

拉格朗日乘数法:解方程的万能工具 𐟛 ️ 拉格朗日乘数法是一种求解多元函数极值问题的强大工具,类似于一元函数求导等于0得到极值点的方法。在多元函数中,我们通过求偏导数来找到极值点。这个方法几乎是无处不用的,但关键是要记住˜磊𚧎𐥜觺榝Ÿ函数前的,并且约束函数右边要化为0。 解方程组的难点在于如何处理€‚最常用的方法有两种:先消ˆ–先解出€‚如果方程组比较复杂,可以考虑利用行列式≠0(即x y z有唯一解)的条件,直接求出€‚ 拉格朗日乘数法求解多元函数极值 𐟓š 设f(x, y)是一个二元函数,满足条件g(x, y) = 0。我们想要找到f(x, y)的最大值和最小值。 构造拉格朗日函数L(x, y,  = f(x, y) + (x, y)。 对L(x, y, 求偏导数,得到方程组: ∂L/∂x = 0 ∂L/∂y = 0 ∂L/∂= g(x, y) = 0 解这个方程组,先消去𜌦ˆ–者先解出š„值。 将解出的x和y代入f(x, y)中,得到极值点。 例子1:求2a + b - 4ab的最小值 𐟧𗲧Ÿ塬 b满足a + b = 4,求2a + b - 4ab的最小值。 构造拉格朗日函数L(a, b,  = 2a + b - 4ab + a + b - 4)。 对L(a, b, 求偏导数,得到方程组: ∂L/∂a = 2 - 4b + = 0 ∂L/∂b = 1 - 4a + = 0 ∂L/∂= a + b - 4 = 0 解这个方程组,得到a和b的值。 将解出的a和b代入2a + b - 4ab中,得到最小值。 例子2:求3x + 4y + 5的最值 𐟌 已知x + y + z = 10,求3x + 4y + 5的最大值和最小值。 构造拉格朗日函数L(x, y, z,  = 3x + 4y + 5 + x + y + z - 10)。 对L(x, y, z, 求偏导数,得到方程组: ∂L/∂x = 3 + = 0 ∂L/∂y = 4 + = 0 ∂L/∂z = = 0 ∂L/∂= x + y + z - 10 = 0 解这个方程组,得到x、y和z的值。 将解出的x、y和z代入3x + 4y + 5中,得到最大值和最小值。 总结 𐟓 拉格朗日乘数法是一种非常强大的工具,可以用于求解多元函数的极值问题。关键在于构造拉格朗日函数,并对其求偏导数。解方程组的难点在于如何处理𜌥𘸧”觚„方法有先消ˆ–先解出€‚希望这些例子能帮助你更好地理解拉格朗日乘数法的应用。

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