极值点一定可导吗新上映_驻点一定是极值点(2024年11月抢先看)
考研数一模拟卷复盘:张宇八套卷第七套 这套模拟卷的计算量确实有点大,花了134分钟才搞定。因为是分开做的,选填用了53分钟,大题用了81分钟。其中,第18题从第一步就开始错了,还有两道题我觉得不严谨,答案也可能有问题。 首先是填空题第12题。这道题其实有点争议,关于极值的定义有两种主流观点。我只认同一种,即大于等于或小于等于邻域的值都算是极值。这样的定义对于费马引理这些定理来说,比较严谨。费马引理可以描述为可导极值点必是驻点。然而,同济高数的定义是极值必须严格小于或大于某个邻域的值。这就导致在讲费马引理时,不是直接说可导极值点必驻点,而是说某个点的函数值大于等于或小于等于某一个邻域的值时,若该点处可微则其为驻点。其实前面的条件就是正常的极值点定义。我看过的数学分析教材基本都是第一种定义,只有同济高数是第二种定义。这就出现问题了,因为考研考纲用的是同济高数的定义。目前市面上主流的教辅和我做过的习题,据我所知,张宇和李正元是按第一个定义,李林和李艳芳都是后一种定义,武忠祥的我还没遇到过这种问题,真题更是不会考这种争议题。所以这题我觉得a≥0或者a>0应该都是对的,甚至如果真的按照考研考纲的话,a>0是更合适的那个答案(虽然我觉得它很sb)。 然后是第21题。这题答案不严谨。其实考研考纲内是没法严谨做出来的。Bⲧ特征向量一定是B的特征向量吗?Bⲧ𘤼Cⲯ一定相似于C吗?这在考研考纲内压根就没这种说法吧。B的特征向量都是Bⲧ特征向量是对的,但是倒过来要成立就得先证明,答案明显没有给证明。 还有第14题。这题我看已经有勘误了,不过不勘误也能做只是和答案不一样。搜了下别人的答案应该是34没错。 其他题目的话,第17题和第18题值得做,第19题太简单,第20题和第22题纯计算。
ln的定义域 如何求函数的定义域? 考试常考的定义域类型: 分式的分母不能为零; 偶数次根式的被开方式大于等于零; 对数函数的真数必须大于零; 反正弦和反余弦函数的定义域为[-1,1]。 判定极值的第一充分条件: 判断驻点和一阶不可导点左右两侧附近一阶导函数是否变号:如果一阶导函数变号,则一定是极值点;如果不变号,一定不是极值点。 判定极值的第二充分条件: 已知f'(x)=0,f"(x)0,则: 如果f"(xo)>0,则x=xo是f(x)的极小值点; 如果f"(xo)<0,则x=xo是f(x)的极大值点。 利用单调性证明不等式: 例如:证明当x>0时,ln(1+x)>x。 证明当x>0时,e^x>1+x。
武忠祥高数严选题第二章一元函数微分学详解 大家好,今天我们来聊聊武忠祥老师的高数严选题第二章——一元函数微分学。这一章可是数二考生们的重中之重,尤其是微分中值定理,几乎每年都会出一道大题。我自己在这方面比较薄弱,所以打算这周好好冲刺一下。 题目总结 首先,我们来看看这些题目:1、7、8、9、11、14、29、33、45-54。 题目1:这道题选C,但D也没看。以后做这种前几题一定要小心再小心,不能肯定就跳过。 题目7:绝对值函数在分界点不可导,但这个函数在x=0处其实是可导的,因为第一项有个expx-1,x=0时为0。这个二级结论记住,很好用。 题目8:这种题就是根号下三项分别开根号取最大值,即f(x)=max{1,|x|,expx},很多项n次幂之和的n次根在n趋于无穷大的时候结果为最大项。 题目9:不要犯经错标零,另外④的反例也可以记住,有点像狄利克雷函数,x为有理数时取1,x为无理数时取0,处处不连续,这里可以类似取一个反例。 题目11:注意概念。驻点是一阶导为0的点,极值点是在子区间内取最小值的点,即驻点和极值点没有必然联系。另外,拐点是指一个点,驻点、极值点和零点都只是x坐标。 题目14:这里11和14可以一起思考,都是一样的。 题目29:不要犯经错标零,经常有这样的,题干只提到f(x)为连续函数,但要求一阶导数值,一般只能构造导数定义求。 题目33:比较经典的,也可作选择题。 题目45-54:微分中值定理证明题 这部分题目可以分为三类: 单中值:一般通过观察求证式和已知式构造辅助函数,再借助罗尔定理或拉格朗日中值定理求证。辅助函数的构造法要熟练。 双中值:如何判断是单中值还是双中值,两个中值都要出现一阶导,否则一般都不算双中值。证明的时候一般要把两个中值分在等式两边,再观察。一般要把区间分成两段,经常在两段分别用拉格朗日中值定理。 二阶导:出现二阶导,考虑用泰勒,在原函数、导函数信息多的点展开。或者用两次罗尔,等等。 45-48为单中值,49-52为双中值,53、54为二阶导。这两天打算狠狠冲一下微分中值定理。 希望这些总结能帮到大家,尤其是那些和我一样在微分中值定理上薄弱的小伙伴们。加油!ꀀ
拉格朗日定理 罗尔定理: 若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且在开区间(a,b)内可导,且f(a)=f(b),则存在c∈(a,b),使得f'(c)=0。 几何意义:在连续曲线上,若两端点处函数值相等,则曲线上必存在一点,使得该点的切线与x轴平行。 拉格朗日中值定理: 若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且在开区间(a,b)内可导,则存在c∈(a,b),使得f'(c) = [f(b) - f(a)] / (b - a)。 几何意义:在连续曲线上,若两端点处函数值存在差异,则曲线上必存在一点,使得该点的切线与连接两端点的直线平行。 洛必达大法: 当函数0/0或∞/∞型的极限存在时,可以通过洛必达法则来计算。具体步骤包括:0/0型时,求导数;∞/∞型时,取倒数并求导数。 应用场景:在计算函数极限时,洛必达法则是一种有效的工具。 最值问题与单调性: 通过一阶导数来判断函数的单调性。若函数在某区间内一阶导数大于0,则函数在该区间内单调递增;若一阶导数小于0,则函数单调递减。 利用二阶导数来判断函数的凹凸性。若二阶导数大于0,则函数在对应区间内凹;若二阶导数小于0,则函数凸。 极值问题与判别法: 通过比较函数在一阶导数为零的点处的函数值,可以找到函数的极值点。 利用极值点来判定函数的最大值和最小值。 凹凸性与极值点: 凹凸性是描述函数图像弯曲方向的概念。凹函数在任意一点处的切线都在函数图像的下方,而凸函数则在上方。 通过凹凸性来判断函数的极值点,进而找到函数的最大值和最小值。
教育心得分享 | Day k+2 在学习的道路上,每一天都有新的挑战和收获。今天,我想分享一些关于数学和游泳的心得体会。 首先,对于那些函数值为0的点,一定要特别留意!这些点可能是拉格朗日中值定理的关键点哦。 在寻找极值时,别忘了考虑在一个小邻域内的最值。虽然这通常不是主流方法,但在某些情况下非常有用。 对于变量分离法,能用的尽量用,这样讨论起来会简单很多。 ﹤F𞥃的函数,找极值点和拐点是有技巧的。极值点通常在导数为0或不存在的点处,只要两边一胜一负,就是极值点。而拐点则是切线水平和不存在的点,两边单调性不同就是拐点。 ᠥ函数的三阶导数也是有表达式的,只是需要对y求导转换成对x求导。记得在遇到反函数的高阶导数时,用这种方法试试。 ♂️ 今天我还花了20分钟看了自由泳的视频,结果只呛了5口水。原来换气时不要抬头,而是用脖子和肩膀转动,这样就不会往下沉了。 ꠦ天继续加油,迎接更多的挑战!阅读理解方面,我发现通过答案反推原文是可以理解的,但自己独立做还是不行。明天开始,我要多看看唐迟的书了! 希望这些分享能对大家有所帮助!
如何找到函数的极值点?ﻦ𞥇𝦕𐧚极值点是一个重要的数学问题,它可以帮助我们理解函数的最大值和最小值。以下是寻找极值点的一般步骤: 找出驻点和不可导点 首先,我们需要找出函数f(x)的驻点和不可导点。驻点是使得函数导数等于零的点,而不可导点则是函数导数不存在的点。这些点通常通过解方程f'(x)=0或寻找f'(x)不存在的点来找到。 检查导数的符号 在找到驻点和不可导点后,我们需要考察这些点两侧附近f'(x)的符号。根据极值的第一充分判别法,如果f'(x)在驻点两侧的符号发生变化,那么该驻点可能是极值点。 利用二阶导数进行判断슠 如果函数的二阶导数容易求解,并且二阶导数在驻点处不为零,那么可以利用极值的第二充分判别法来判定。这种情况下,二阶导数的符号可以帮助我们确定极值的类型(极大值或极小值)。 按定义直接判断 在某些情况下,直接按照极值的定义来判断也是有效的。如果函数在某个点的左右两侧都达到最大或最小值,那么这个点就是极值点。 通过以上步骤,我们可以较为系统地找到函数的极值点。这些方法不仅适用于理论计算,也在实际问题中有着广泛的应用。
极值与拐点全解析,一张图搞定! 极值与拐点是数学中常见且重要的概念。以下是对这些概念的定义、必要条件和充分条件的总结: 极值定义 极值是指函数在某一点处的最大值或最小值。如果对于任意的x,都有f(x) < f(x)(或f(x) > f(x)),那么点x就是函数f(x)的极大值点(或极小值点)。 必要条件 函数f(x)在x处有定义。 函数f(x)在x处连续。 充分条件 函数f(x)在x处可导,且f'(x) = 0。 函数f(x)在x处二阶可导,并且f''(x) = 0。 找点方法 利用可疑点左右两侧的单调性来判断。 利用可疑点左右两侧的凹凸性来判断。简单来说,左增右减,取极大;左减右增,取极小;左右增减性相同,不取极值。 利用可疑点处二阶导的正负来判断。简单来说:f''(x) > 0,取极小;f''(x) < 0,取极大。 利用可疑点处三阶导是否为零来判断。简单来说:f'''(x) = 0,f(x) ≥ 0,取点;f'''(x) = 0,f(x) < 0,取极大。 结论 通过以上方法,你可以轻松找到函数的极值点和拐点。记住这些定义和条件,多做几道练习题,就能熟练掌握这个知识点啦!
高数二专升本内容 考点一:无穷小量与无穷大量的概念 无穷小量:当自变量x→xp或x→∞时,函数f(x)的极限值为零,则称f(x)为无穷小量,记作limf(x)=0。常用希腊字母表示。 无穷大量:当自变量x→xp或x→∞时,函数f(x)的绝对值无限增大,则称f(x)为无穷大量,记作limf(x)=∞。 考点二:无穷小量的比较 高阶无穷小:lim0且lim0时,若lim0,则称羚똩𖧚无穷小量。 同阶无穷小:若limC且C≠0,则称露阶的无穷小量。 等价无穷小:若lim1,则称𘎎吝价无穷小量。 低阶无穷小:若lim0且lim0,则称羚𖧚无穷小量。 考点三:无穷小的等价代换定理 设a(x),x),x)是自变量x在同一变化过程中的无穷小量,且满足a(x)存在,则-a(x)≈x),在这一条件下有意义。常用等价无穷小包括sinx~tanx~arcsinx~arctanx等。 考点四:函数的微分 设函数y=f(x)在点x的某一邻域内有定义,在点x取一增量(且x+在该领域内),若函数y在点x处的增量=f(x+)-f(x),则可表示为=+o()。其中o()是比高阶的无穷小,则称函数y在点x可微(或可微分),并称为函数y在点x处对应于自变量增量的微分,记作dy或d/dx,即dy=。 考点五:导数的四则运算 设函数u(x),v(x)可导,则(uⱶ)'=u'ⱶ';(uv)'=u'v+uv';(ku)'=ku'(k为常数)。 考点六:可微与可导的关系 若函数f(x)在点x可微,则f(x)在点x可导,且dy=f'(x)dx。即F(x)在点x处的导数f'(x)等于函数微分dy与y=f(x)dx的商。因此,导数也叫微商。 考点七:函数可微的充要条件 函数y=f(x)在点x处可微的充要条件是函数f(x)在点x处可导且存在。 考点八:可微与连续的关系 若函数y=f(x)在点x处可微,则函数f(x)必在点x处连续。 考点九:函数极值的定义 设函数y=f(x)在点的某一邻域内有定义:若除点x外,在该邻域内恒有f(x)f(xo),则称f(x)在点xo处取得极小值。函数的极大值与极小值统称为函数的极值,函数的极大值点与极小值点统称为函数的极值点。 考点十:二元函数的极限 设函数z=f(x,y)在点P(xo,yo)的某一去心邻域内有定义,当点P以任意方式趋近于点Po时,函数f的值都趋近于一个确定的常数A,则称A是函数z当点P趋近于点Po时的极限。关于二元函数的极限,只要理解概念即可,不要求考生掌握求二元函数极限的方法。 考点十一:二元函数的连续性 如果函数z=f(
苏州科技大学2023年数学分析真题解析 苏州科技大学2023年数学分析真题解析来啦!让我们一起来看看这些题目吧。 题目一: 给定函数f(x) = x^2 + 2x + 1,求f'(x)。 解析: 首先,我们需要找到函数f(x)的导数。根据导数的定义和多项式函数的求导法则,我们可以得到: f'(x) = 2x + 2 题目二: 设函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 3x - 1,求f'(x)并判断其单调性。 解析: 同样,我们先求导数。利用多项式函数的求导法则,我们得到: f'(x) = 3x^2 - 6x + 3 为了判断函数的单调性,我们需要进一步分析f'(x)的符号。由于f'(x)是一个二次函数,我们可以通过求顶点的x坐标来判断其单调性。顶点的x坐标为x = -(-6) / (2 * 3) = 1。当x < 1时,f'(x) < 0;当x > 1时,f'(x) > 0。因此,函数在(-∞, 1)区间内单调递减,在(1, +∞)区间内单调递增。 题目三: 设函数f(x) = x^2 - 4x + 3,求f'(x)并判断其极值点。 解析: 首先,我们求出f(x)的导数: f'(x) = 2x - 4 为了找到函数的极值点,我们需要解方程f'(x) = 0。解得x = 2。将x = 2代入原函数,得到f(2) = -1。因此,函数在x = 2处取得极小值-1。 题目四: 设函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 3x - 1,求其驻点并判断其稳定性。 解析: 首先,我们求出f(x)的导数: f'(x) = 3x^2 - 6x + 3 驻点是函数的一阶导数为零的点,即解方程f'(x) = 0。解得x = 1和x = -1。将这两个点分别代入原函数,得到f(1) = -1和f(-1) = -1。由于两个驻点的函数值相同且小于0,根据稳定性定理,我们可以判断函数在(-∞, -1)和(1, +∞)区间内是稳定的,而在(-1, 1)区间内是不稳定的。
拉格朗日乘数法:解方程的万能工具 ️ 拉格朗日乘数法是一种求解多元函数极值问题的强大工具,类似于一元函数求导等于0得到极值点的方法。在多元函数中,我们通过求偏导数来找到极值点。这个方法几乎是无处不用的,但关键是要记住磊觺榝函数前的,并且约束函数右边要化为0。 解方程组的难点在于如何处理最常用的方法有两种:先消先解出如果方程组比较复杂,可以考虑利用行列式≠0(即x y z有唯一解)的条件,直接求出 拉格朗日乘数法求解多元函数极值 设f(x, y)是一个二元函数,满足条件g(x, y) = 0。我们想要找到f(x, y)的最大值和最小值。 构造拉格朗日函数L(x, y, = f(x, y) + (x, y)。 对L(x, y, 求偏导数,得到方程组: ∂L/∂x = 0 ∂L/∂y = 0 ∂L/∂= g(x, y) = 0 解这个方程组,先消去者先解出值。 将解出的x和y代入f(x, y)中,得到极值点。 例子1:求2a + b - 4ab的最小值 𗲧塬 b满足a + b = 4,求2a + b - 4ab的最小值。 构造拉格朗日函数L(a, b, = 2a + b - 4ab + a + b - 4)。 对L(a, b, 求偏导数,得到方程组: ∂L/∂a = 2 - 4b + = 0 ∂L/∂b = 1 - 4a + = 0 ∂L/∂= a + b - 4 = 0 解这个方程组,得到a和b的值。 将解出的a和b代入2a + b - 4ab中,得到最小值。 例子2:求3x + 4y + 5的最值 已知x + y + z = 10,求3x + 4y + 5的最大值和最小值。 构造拉格朗日函数L(x, y, z, = 3x + 4y + 5 + x + y + z - 10)。 对L(x, y, z, 求偏导数,得到方程组: ∂L/∂x = 3 + = 0 ∂L/∂y = 4 + = 0 ∂L/∂z = = 0 ∂L/∂= x + y + z - 10 = 0 解这个方程组,得到x、y和z的值。 将解出的x、y和z代入3x + 4y + 5中,得到最大值和最小值。 总结 拉格朗日乘数法是一种非常强大的工具,可以用于求解多元函数的极值问题。关键在于构造拉格朗日函数,并对其求偏导数。解方程组的难点在于如何处理觚方法有先消先解出希望这些例子能帮助你更好地理解拉格朗日乘数法的应用。
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