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无穷小的阶前沿信息_等价无穷小量一览表(2024年11月实时热点)

内容来源：冲顶技术团队所属栏目：教程更新日期：2024-11-29

无穷小的阶

河南专升本高数备考指南：必掌握知识点清单 𐟓š 河南专升本高数备考指南：必掌握知识点清单 𐟎쬤𘀧렯𜚥‡𝦕𐣀极限、无穷小与连续函数考点一：求函数的定义域知识点1：求具体表达式函数的定义域知识点2：求抽象函数的定义域考点二：相等函数的判定考点三：求函数的表达式知识点1：已知f(x)和g(x)的表达式，求(x]的表达式知识点2：已知fLg(x]和g(x)的表达式，求f(x)的表达式考点四：函数的奇偶性判定考点五：求反函数极限考点六：7种极限类型的计算知识点1：二型极限的计算知识点2：二型极限的计算知识点3：0-0型极限的计算知识点4：开指函数f(x)型极限的计算考点七：极限反问题的解法知识点1：[型极限的反问题知识点2：[型极限的反问题知识点3：1型极限的反问题考点八：夹逼准则求极限考点九：极限的应用一求渐近线考点十：极限综合题（极限概念、充要条件、四则运算等）考点十一：求极限：无穷小与有界函数乘积的计算考点十二：无穷小量阶的比较连续考点十三：函数的连续性考点十四：函数的间断点及其类型的判断考点十五：利用零点定理证明方程根的存在性知识点1：利用零点定理方程根的存在性知识点2：利用零点定理和单调性结合证明方程根的唯一性拉格朗日中值定理重识点1：验证拉格朗日中值定理条件知识点2：求满足条件的5 知识点3：恒等式的证明知识点4：利用拉格朗日中值定理证明综合考点考点八：求近似值考点九：求导后函数的奇偶性判定向量代数与空间解析几何向量代数考点一：基本概念考点二：向量运算（线性运算、点乘、叉乘）空间解析几何考点三：平面方程与平面间的位置关系考点四：直线方程考点五：判断直线与平面的位置关系考点六：[二次曲面] 多元函数微分学重极限与偏导数计算点二：偏导数计算点三：全微分多元极值与条件极值拉格朗日乘数法考点四：多元极值考点五：条件极值拉格朗日乘数法方向导数和梯度考点六：方向导数和梯度空间曲线的切线和法平面考点七：空间曲线的切线和法平面空间曲面的切平面和法线

教育心得分享：复盘与超越④ 最近在复习教育学的各种知识点，真是又爱又恨啊！𐟘… 来给大家分享一下我的复盘心得，希望能帮到同样在奋斗的你们。函数大小比较：T3 这个题目其实挺常规的，但我在做的时候太复杂化了。后来发现，考试的时候直接任取一个区间上的点代入，省时省力。抽象矩阵行列式计算：T6 这道题我错在了AB=O，r(A)+r(B)≤n，(AB)=4*3，n=4！其实应该根据关系式推出A的特征值，然后计算行列式。带参数无穷积分计算：T12 这个题目真是难到爆！我几乎没见过这种类型的题。后来发现有两种方法可以解决：方法一：变量代换(ex＝t)；倒代换(t＝1/u)。积分计算与积分字母无关，列出等式。方法二：三角换元：t＝tanu，切换弦(分子分母同乘cosu)；区间再现，消掉参数€‚ 方法三：利用ex和e-x互为倒数，令x＝-t；分子分母有理化，-t消为t。中心思想就是对积分作各种变换，最终消掉参数€‚ 抽象定积分求原函数：T14 这道题简直让我崩溃！技巧性太强了，做不出来。后来发现有两种方法：方法一：对f'进行分部积分不可取，因而对f进行分部。观察式子，凑完全平方，得出等式。方法二：观察式子，凑完全平方，得出等式。抽象函数求极限：T17 这道题我用无穷小的形式做错了，得出的是高阶无穷小是二阶的，分母是四阶的（不严谨）。后来发现有两种方法：方法一：用拉格朗日中值定理，凑导数定义。方法二：用洛必达法则（洛到一阶导数，二阶凑导数定义）。证明级数收敛性：T20 这道题有两个小问，第一问有连续导数，存在最大值，泰特展开，用绝对值放缩。第二问有两种方法：方法一：用第一问的结论。注意第一问是积分，内部求导才是f(x)，证明一阶连续即可。方法二：用等价无穷小。设内部～ax^p，用洛必达。求矩阵问题：T21 这道题我在考试的时候草稿纸没算完就写进答题卡了，写一半发现全部写错了，真是彻底疯狂！考试的时候一定要注意得出结果了再抄进答题卡！错因是主观臆想A的另一个特征值为2。其实应该设最后特征值为𜌦 𙦍𙥾向量正交，得出最后一个特征向量，用QTAQ＝对角阵（简法：谱分解A＝⧱⧱T+⧲⧲T+r⧳⧳T）。或者直接把A设出来，根据和B的关系+实对称矩阵的特征求解合个未知数。分段随机变量求期望：T22 这道题我转换成了联合概率密度求均值。其实也可以用其他方法解决，但这个方法对我来说比较直观。希望这些分享能帮到你们，大家一起加油吧！𐟒ꀀ

大一高数听不懂？这些资料帮你轻松搞定！大一高数听不懂？别担心，直接看这些资料！𐟓š 𐟓– 高等数学上册知识点函数与极限函数定义及性质：有界性、单调性、奇偶性、周期性。反函数、复合函数、函数的运算。初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、双曲函数、反双曲函数。函数的连续性与间断点：重点！函数在x0连续，lim f(x)=f(x0)。极限存在准则：夹逼准则、单调有界准则。无穷小（大）量：定义、无穷小的阶（高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k阶无穷小）。求极限的方法：单调有界准则、夹逼准则、极限运算准则及函数连续性、两个重要极限。导数与微分导数定义：lim(x→x0) [f(x) - f(x0)] / (x - x0)。左导数和右导数：f'(x0) = lim(x→x0) [f(x) - f(x0)] / (x - x0)。可导与连续的关系：可导必连续，但连续不一定可导。求导的方法：导数定义、基本公式、四则运算、复合函数求导（链式法则）、隐函数求导数、参数方程求导数、对数求导法。高阶导数：定义、Leibniz公式。微分中值定理与导数的应用中值定理：Rolle定理、Lagrange中值定理、Cauchy中值定理。洛必达法则：重点！ Taylor公式：不考。单调性及极值单调性判别法：若f'(x)>0，则f(x)单调增加；若f'(x)<0，则f(x)单调减少。极值及其判定定理：必要条件、第一充分条件、第二充分条件。凹凸性及其判断，拐点：判定定理、拐点定义。不等式证明利用微分中值定理。利用函数单调性。利用极值（最值）。方程根的讨论连续函数的介值定理。 Rolle定理。函数的单调性。极值、最值。凹凸性。渐近线铅直渐近线：lim f(x) = ∞，则x=a为一条铅直渐近线。水平渐近线：lim f(x) = b，则y=b为一条水平渐近线。斜渐近线：lim [f(x) - kx] / (x - x0) = b存在，则y=kx+b为一条斜渐近线。图形描绘不定积分概念和性质：原函数、不定积分、基本积分表（13个公式）。换元积分法：第一类换元法（凑微分）、第二类换元法（变量代换）。分部积分法：重点！有理函数积分：拆分、变量代换（三角代换、倒代换、根式代换等）。定积分概念与性质：定义、性质（7条）。性质7（积分中值定理）：函数f(x)在区间[a,b]上连续，则存在c∈[a,b]，使得∫f(x)dx = f(c)(b-a)。

396真题D3：无穷小比阶做错的要好好梳理「396数学杨晶」「2025考研」「一起做个题」

高数基础知识点：等价无穷小嘿，高数的小伙伴们！今天我们来聊聊等价无穷小，这可是极限计算中的一大法宝哦！𐟒ꊥŸ𚦜쥅쥼 首先，咱们得知道一些基本的等价无穷小公式：当 x 趋近于 0 时： sinx ~ x tanx ~ x arctanx ~ x e^x - 1 ~ x ln(1 + x) ~ x 这些公式可是咱们解题的好帮手，记住它们可是事半功倍哦！高阶公式接下来，咱们来看看一些高阶的等价无穷小公式：当 x 趋近于 0 时： sinx ~ x - x^3/6 tanx ~ x + x^3/3 arctanx ~ x - x^3/3 这些公式在计算中可是能省不少事儿呢！推广形式有时候，咱们需要用到更复杂的等价无穷小公式，比如：当 x 趋近于 0 时： sin(x + sinx) ~ x + sinx tan(x + tanx) ~ x + tanx 这些公式虽然看起来有点复杂，但只要多练几次，就能熟练掌握啦！使用条件最后，咱们得注意一下等价无穷小的使用条件：乘除关系可以直接用：比如 lim(x -> 0) (sinx / x) = 1 加减时需要注意：如果函数是加减关系，需要满足一定条件才能使用等价无穷小替换。这个阶段咱们先不考，但以后可是要用的哦！练习题最后，咱们来做几道练习题巩固一下： lim(x -> 0) (tanx - sinx) / x^3 = ?（答案：2/3） lim(x -> 0) (ln(1 + x) - x) / x^2 = ?（答案：-1/2） lim(x -> 0) (e^x - 1 - x) / x^2 = ?（答案：1/2）希望这些公式和练习能帮到你们，加油吧！𐟒ꀀ

专升本高数备考，顺序别乱！嘿，准备专升本的小伙伴们，千万别小看高数这门课！如果你把顺序搞反了，那可真是稀里糊涂学得一团乱，时间和精力都白白浪费了。来，咱们一起捋一捋高数的备考重点和做题技巧吧！考试重点 𐟓š 函数、极限与连续函数的概念和性质极限的计算无穷小阶的比较函数的连续与间断零点定理（根的相关问题）一元函数微分学函数的求导导数的应用微分中值定理一元函数积分学不定积分、定积分、反常积分的计算变上限积分利用定积分求面积及旋转体体积常微分方程一阶微方程的通解、特解二阶微方程的通解、特解向量代数与空间解析几何向量的概念和性质数量积与向量积空间直线方程空间平面方程多元函数微分学二元函数的求导法则偏导数与全微分多元函数的应用多元函数积分学二重积分的计算方法第一类、二类曲线积分无穷级数常数项级书的敛散性判断幂级数的收敛半径、收敛区间、收敛域函数的展开与幂级数的求和做题技巧 𐟒ኦ𑂤𘍥篥ˆ†一定要＋C，求单调区间一定要考虑端点在不在定义域。带有绝对值的函数无论是求导还是求定积分，一定要去掉绝对值。等价无穷小替换一定不要用于加减，可能会出错。定积分看到上下限互为相反数，很可能用到奇偶函数在对称区间上积分的性质。应用问题求最值，一旦建立了函数关系就可以求导，求的驻点通常就是最值点。求微分时无论是求函数在一点的微分还是求函数的微分不要忘记乘dx。求定积分需要换元时，一定要注意“三换”原则。看到正弦或余弦函数在0到二分之š„定积分，有可能用到点火公式。备考小贴士 𐟓 高数基础知识一定要重点掌握！我是跟董硕专升本学的，课前先预习，课上结合老师讲的例题把基础概念、核心公式都理解透彻，做题才会更简单。某个公式不太理解的话，可以结合1-2道例题的解题步骤去拓展做题思路，做完同类型的题之后，及时总结做题技巧。准备好错题本，把掌握不牢的题总结2道，每天单独做一遍，及时巩固练习，保持好手感。基础差的同学不要钻研高难度的题，重心放在基础题上，把能拿的分数都拿到手就差不多已经够用了。希望这些小建议能帮到你们，祝大家都能顺利上岸！𐟚€

提升30分！函数、极限和连续的基础知识 𐟓š 函数部分函数的定义和表示法：理解函数的概念，掌握函数的定义和表示方法，包括分段函数。函数的简单性质：掌握函数的单调性、奇偶性、周期性和有界性。反函数：了解反函数的定义和图像。四则运算与复合运算：掌握函数的四则运算和复合运算。基本初等函数：理解并掌握幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数。初等函数的概念：了解初等函数的概念。 𐟓ˆ 极限部分数列极限的概念：理解数列和数列极限的定义。数列极限的性质：掌握唯一性、有界性、四则运算定理、夹逼定理、单调有界数列和极限存在定理，熟悉极限的四则运算法则。函数极限的概念：理解函数在一点处的极限定义，掌握左右极限及其与极限的关系，以及x趋于无穷时的函数极限。函数极限的定理：掌握唯一性定理、夹逼定理和四则运算定理。无穷小量和无穷大量：了解无穷小量和无穷大量的定义、关系和性质，比较两个无穷小量的阶。 𐟓Š 连续部分连续函数的定义：理解连续函数的定义和性质。间断点的类型：掌握各类间断点的判断方法。单调函数的连续性：了解单调函数在其定义域内是连续的。初等函数的连续性：掌握幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数的连续性。闭区间上连续函数的性质：了解闭区间上连续函数的最大值和最小值定理。

𐟓š高等数学无穷小与无穷大详解笔记𐟓 𐟓– 无穷小与无穷大 𐟔 无穷小定义：若函数f(x)在x趋近于某个值时，极限为0，则称f(x)是x的无穷小。 𐟓š 极限为零：这意味着函数值趋近于0，但并不意味着它是“极小的数”。 𐟓Œ 等价无穷小：当x趋近于某个值时，若f(x)与g(x)的极限相等，则称f(x)与g(x)是等价无穷小。 𐟓ˆ 无穷大定义：若函数f(x)在x趋近于某个值时，极限为无穷大，则称f(x)是x的无穷大。 𐟔— 关系：f(x)是x的无穷小，而g(x)是x的无穷大。 𐟓Œ 重要关系：若f(x)是x的无穷小，且g(x)是x的无穷大，则f(x)与g(x)的乘积为1。 𐟓– 等价无穷小 𐟔 等价无穷小的形式：当x趋近于某个值时，f(x)与g(x)的关系为等价无穷小。 𐟓š 常见函数：如sin x, cos x, tan x, arcsin x, arccos x, arctan x等。 𐟓ˆ 无穷小的比较 𐟔 设f(x)与g(x)是x的无穷小，且f(x)与h(x)也是x的无穷小。 𐟓š 若f(x)与g(x)是同阶无穷小，则它们的关系为o(1)。 𐟓Œ 若f(x)与g(x)是等价无穷小，则它们的关系为1。 𐟓– 总结 𐟔 无穷小与无穷大的概念是高等数学中的重要部分。 𐟓š 通过这些定义和关系，可以更好地理解和解决各种数学问题。

华南师范大学数学分析必考知识点清单 𐟓š 数学分析是华南师范大学数学科学专业的重要课程，以下是整理的必考知识点，帮助大家更好地备考！ 𐟔 数列极限通项变形算极限数列极限的性质 Stolz公式迫敛性准则定积分定义归结原则子列与聚点 𐟓ˆ 函数极限无穷小量函数的左右极限幂指函数求极限洛必达法则拉格朗日中值定理柯西中值定理泰勒公式（4阶）变限积分求极限 𐟒蠥‡𝦕𐧚„连续性连续的定义函数的渐近线间断点的分类一致连续 𐟓ˆ 函数的微分复合求导隐函数求导高阶导数函数的极值点与单调性 𐟒砥‡𝦕𐧚„积分分部积分凑微分法代入换元法微积分基本定理平面图形的面积旋转体的体积 𐟓Š 级数比式判别法根式判别法莱布尼茨判别法绝对收敛幂级数求和函数的幂级数展开 𐟌 多元函数的微积分二元函数的极限复合偏导高阶偏导条件极值二重积分的换序第二型曲线积分的计算格林公式第一型曲面积分的计算第二型曲面积分的计算高斯公式 𐟓 空间解析几何空间平面方程空间直线方程平面及直线间关系 𐟓– 高等代数多项式：实系数多项式在不同数域上的因式分解实系数多项式根的性质韦达定理有理根的计算行列式：行列式和矩阵性质计算，克拉默法则方程组：基础解系、含参线性方程组求参含参线性方程组解的判别含参线性方程组求解矩阵：方阵行列式、矩阵的秩、伴随矩阵、逆矩阵、矩阵方程求未知矩阵二次型：二次型矩阵、正定二次型（正定矩阵）的判别含参实二次型求参线性空间：基与维数计算、过渡矩阵方法、基变换、生成子空间线性变换：线性变换的矩阵、线性变换（矩阵）可对角化、特征值与特征向量、利用特征值求方阵的行列式、求值域与核欧氏空间：向量的内积、向量的正交、向量的夹角、施密特正交化、标准正交基、实对称矩阵正交相似对角矩阵 𐟓 这些知识点是华南师范大学数学分析考试的重点，希望对大家有所帮助！

2024年山东专升本数学大纲详解 𐟓š 2024年山东专升本数学考试大纲来啦！小伙伴们，赶紧收藏起来，按照大纲来复习吧！𐟓– 函数、极限与连续函数理解函数的概念，会求函数的定义域、表达式及函数值，能建立应用问题的函数关系。掌握函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性。理解分段函数、反函数和复合函数的概念。掌握函数的四则运算与复合运算。熟悉基本初等函数的性质及其图形，理解初等函数的概念。了解经济学中的几种常见函数（成本函数、收益函数、利润函数、需求函数和供给函数）。极限理解数列极限和函数极限（包括左极限和右极限）的概念，理解函数极限存在与左极限、右极限存在之间的关系。掌握数列极限和函数极限的性质，熟练掌握它们的运算法则。熟练掌握两个重要极限m-=1(-)=8，并会用它们求极限。理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系。会比较无穷小量的阶（高阶、低阶、同阶和等价）。会求二元函数的无条件极值。二重积分理解二重积分的概念、性质及其几何意义。掌握二重积分在直角坐标系下的计算方法。常微分方程微分方程的定义理解微分方程的阶、解、通解、初始条件和特解等概念。可分离变量微分方程的解法。一阶线性微分方程的解法。二阶常系数齐次线性微分方程的解法。考试形式与题型范围考试形式考试采用闭卷、笔试形式。试卷满分100分，考试时间120分钟。题型范围选择题、填空题、判断题、计算题、解答题、证明题、应用题。其他重要内容不定积分熟练掌握不定积分的基本公式。熟练掌握不定积分的换元积分法和分部积分法。掌握简单有理函数的不定积分的求法。定积分理解定积分的概念及几何意义，了解可积的条件。掌握定积分的性质及其应用。理解积分上限的函数，会求它的导数，掌握牛顿-莱布尼茨公式。熟练掌握定积分的换元积分法与分部积分法。会用定积分表达和计算平面图形的面积。小伙伴们，按照这个大纲来复习，祝大家都能顺利通过考试，加油！𐟒ꀀ