每日一题[203] 黎明前的黑暗

2014年全国高中数学联赛山东省预赛第10题：

已知\(S_n=\left|n-1\right|+2\left|n-2\right|+3\left|n-3\right|+\cdots+10\left|n-10\right|\) ，\(n\in \mathcal N^*\)，则\(S_n\)的最小值为_______．

正确答案是\(112\)．

先考虑连续函数\(f(x)=\left|x-1\right|+2\left|x-2\right|+3\left|x-3\right|+\cdots+10\left|x-10\right|.\)

为了去掉绝对值符号，可以将数轴按每个绝对值符号内的代数式零点划分为\(11\)段，在每一段上所有绝对值内的代数式的符号是固定的．

当然，逐一去计算每一段上的函数的解析式是不现实且不必要的．因为对于最值问题而言，我们关心的是函数的单调性，而函数在每一段上的单调性只由其一次项系数的正负决定．如在\((-\infty,1)\)上，所有的绝对值符号内的代数式均取负值，此时一次项的系数为\[(-1)+(-2)+(-3)+\cdots+(-10)=-55,\]因此函数在这一区间上单调递减．进而考察在\((1,2]\)上，此时第一个绝对值符号“投诚”，不再散发“负能量”，而是转而提供“正能量”，此时一次项系数为\[1+(-2)+(-3)+\cdots+(-10)=-53,\]不过于事无补，整个函数的单调性仍然是单调递减的．可以想象随着时间的推移，绝对值符号逐一投诚，必然存在某一个分界点\(k\)，在\(k\)投诚之前函数单调递减，而投诚之后函数单调递增，那么函数必然在\(k\)处取得最小值，我们可以称之为“黎明前最黑暗的时刻”．

要寻找这一时刻，也就是要寻找使得不等式\[1+2+\cdots+k\geqslant \dfrac 12(1+2+\cdots+10)\]成立的第一个正整数\(k\)，不难求得\(k=7\)，于是所求\(S_n\)的最小值为\[S_7=112.\]