用矩阵的初等变换求逆矩阵.doc 3页VIP

2007年11月16日至18日，有幸参加了由李尚志教授主讲的国家精品课程线性代数（非数学专业）培训班，使我受益匪浅，在培训中，我见识了一种全新的教学理念。李老师的“随风潜入夜，润物细无声”“化抽象为自然”“饿了再吃”等教学理念很值得我学习。作为刚参加工作的年轻教师，我应该在以后的教学中，慢慢向这种教学理念靠拢，使学生在不知不觉中掌握较为抽象的知识。下面这个教案是根据李老师的教学理念为“三本”学生写的，不知是否能达要求，请李老师指教。 用矩阵的初等变换求逆矩阵 问题提出 在前面我们以学习了用公式 求逆矩阵，但当矩阵A的阶数较大时，求A*很繁琐，此方法不实用，因此必须找一种更简单的方法求逆矩阵，那么如何找到一种简单的方法呢？ （饿了再吃） 求逆矩阵方法的推导 （“润物细无声”“化抽象为自然”） 我们已学习了矩阵初等变换的性质，如 1.定理2.4 对mxn矩阵A，施行一次初等行变换，相当于在A的左边乘以相应m阶初等矩阵；对A施行一次初等列变换，相当于在A的右边乘以相应的n阶初等矩阵。 2.初等矩阵都是可逆矩阵，其逆矩阵还是初等矩阵。 3.定理2.5的推论 A可逆的充要条件为A可表为若干初等矩阵之积。即 4.推论 A可逆，则A 可由初等行变换化为单位矩阵。 （1） 由矩阵初等变换的这些性质可知，若A可逆，构造分块矩阵 A︱E ，其中E为与A同阶的单位矩阵，那么 （2） 由（1）式 代入（2）式左边， 上式说明分块矩阵 A︱E 经过初等行变换，原来A的位置变换为单位阵E，原来E的位置变换为我们所要求的,即 三，讲解例题 1. 求逆矩阵方法的应用之一 例 解： 四，知识拓展 2．求逆矩阵方法的应用之二 利用矩阵的初等行变换也可以判断一个矩阵是否可逆，即分块矩阵 A︱E 经过初等行变换，原来A的位置不能变换为单位阵E，那么A不可逆。 例 解： 而上面分块矩阵的第一块第二行全为零，它不可能变换为单位矩阵，所以A不可逆。 3．求逆矩阵方法的应用之三 利用矩阵初等行变换解矩阵方程 （“润物细无声”） 对一般的矩阵方程 求解，我们可以先求 ，然后求X＝B。 现在我们介绍另外一种方法求矩阵方程。 其实在推导求逆矩阵方法的过程就是求解矩阵方程的过程，因为求就是求解矩阵方程 的解，而对一般的矩阵方程 只要将 中的E换成B，然后利用初等行变换，即 其中的B即为