二次函数典型例题——最大值问题.doc 7页VIP

二次函数典型例题——最大面积 1、如图所示，在平面直角坐标系中，Rt△OBC的两条直角边分别落在x轴、y轴上， 且OB=1,OC=3,将△OBC绕原点O顺时针旋转90°得到△OAE，将△OBC沿y轴翻折得到△ODC，AE与CD交于点F. （1）若抛物线过点A、B、C, 求此抛物线的解析式; （2）求△OAE与△ODC重叠的部分四边形ODFE的面积; （3）点M是第三象限内抛物线上的一动点，点M在何处时△AMC的面积最大？最大面积是多少？求出此时点的坐标. M M 解：(1)∵OB=1，OC=3 ∴C(0，-3)，B(1，0) ∵△OBC绕原点顺时针旋转90°得到△OAE ∴A(-3,0) 所以抛物线过点A(-3，0)，C(0，-3)，B(1，0) 设抛物线的解析式为，可得 解得 ∴过点A,B,C的抛物线的解析式为 (2) ∵△OBC绕原点顺时针旋转90°得到△OAE， △OBC沿y轴翻折得到△COD ∴E（0，-1），D（-1,0） 可求出直线AE的解析式为 直线DC的解析式为 ∵点F为AE、DC交点 ∴F（，） S四边形ODFE=S△AOE-S△ADF= （3）连接OM，设M点的坐标为 ∵点M在抛物线上，∴ ∴ = = 因为，所以当时，，△AMA’的面积有最大值 所以当点M的坐标为()时，△AMA’的面积有最大值 2、在平面直角坐标系中，抛物线过点，且与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C.点D的坐标为，连接CA，CB，CD. （1）求证：； （2）是第一象限内抛物线上的一个动点，连接DP交BC于点E. ①当△BDE是等腰三角形时，直接写出点E的坐标； ②连接CP，当△CDP的面积最大时，求点E的坐标. 3、如图，一次函数分别交y轴、x 轴于A、B两点，抛物线过A、B两点． （1）求这个抛物线的解析式； （2）作垂直轴的直线，在第一象限交直线AB于点M，交这个抛物线于点N．求当t 取何值时，MN有最大值，最大值是多少？ 解： （1）易得A（0，2），B（4，0） ……………… 1分 将=0，=2代入得 ………………2 分 将=4，=0，代入 得到 ……………… 3分 （2）由题意，易得……………… 4分 从而得到 …… 5分 当时，有最大值4 . ………………6 分 （延庆县）二次函数的图象经过点A（﹣1，4），B（1，0），经过点B，且与二次函数交于点D．过点D作DC⊥x轴，垂足为点C． （1）求二次函数的表达式； （2）点N是二次函数图象上一点（点N在BD上方），过N作NP⊥x轴，垂足为点P，交BD于点M，求MN的最大值. 解：（1）∵二次函数的图象经过点A（﹣1，4），B（1，0） ∴ ∴m=-2,n=3 ∴二次函数的表达式为 （2）经过点B ∴ 画出图形 ∴ ∴ ∴ ∴MN的最大值为 （石景山）已知关于的方程． （1）求证：无论取任何实数时，方程恒有实数根； （2）若关于的二次函数的图象经过坐标原点，得到抛物线．将抛物线向下平移后经过点进而得到新的抛物线,直线经过点和点，求直线和抛物线的解析式； （3）在直线下方的抛物线上有一点，求点到直线的距离的最大值． 解：（1）当时， 当时， ∵，∴ 综上所述：无论取任何实数时，方程恒有实数根；………………………3分 （2）∵二次函数的图象经过坐标原点 ∴ ∴………