亚纯函数系数二阶微分方程解的零点分布

亚纯函数系数二阶微分方程解的零点分布

1.个线性无关的解本文假设读者熟悉分布理论的基本结果，并使用标准分布理论的符号来表示亚纯函数f的函数、零积分指数和亚纯函数的指数。σ2(f)=limsupr→∞loglogΤ(r,f)logr.σ2(f)=limsupr→∞loglogT(r,f)logr.在中,BankS和LaineI首次应用亚纯函数的Nevanlinna理论研究了二阶微分方程f′′+A(z)f=0(1)f′′+A(z)f=0(1)的解的零点分布,其中A(z)为多项式或超越整函数.他们证明了定理1设A(z)是超越整函数,其级为σ.假设f1,f2是方程(1)的两个线性无关的解.如果σ<1/2,则max{λ(f1),λ(f2)}=∞.自从1982年,BankS和LaineI对方程(1)进行研究并取得相关结果以来,关于微分方程解的零点分布问题受到国内外很多学者的关注,并取得了一些重要的结果.2004年,伍胜健从辐角分布的角度研究了二阶微分方程解的零点聚值线和Borel方向之间的关系,证明了定理2设A(z)是一个级为σ<∞的超越整函数,f1,f2是方程(1)的两个线性无关的解,记E=f1f2.再设E的零点收敛指数λ(E)=∞,则射线argz=θ是E的一条∞级Borel方向的充分必要条件是λθ(E)=∞,其中λθ(E)=limε→0λθ,ε(E),λθ,ε(E)=limsupr→∞logn(r,θ,ε,E=0)logr.λθ(E)=limε→0λθ,ε(E),λθ,ε(E)=limsupr→∞logn(r,θ,ε,E=0)logr.自伍胜健的结果发表以来,文进一步研究了超越整函数系数微分方程的解的零点聚值线和Borel方向之间的关系.然而,由于伍胜健的研究方法中运用了最大模这样一个工具,因此,至今尚未出现关于亚纯函数系数二阶微分方程解零点聚值线和Borel方向之间的关系的相关结果.本文运用角域Nevanlinna理论,用新的方法研究超越亚纯函数系数的二阶微分方程(1)的解的零点聚值线和Borel方向之间的关系,证明如下定理.定理3设A(z)是超越亚纯函数,其级为σ(A(z))<∞.假设方程(1)有两个线性无关的亚纯解f1,f2.令E=f1f2,如果σ(E)=∞,则射线argz=θ是E的一条∞级Borel方向的充分必要条件是λθ(E)=∞.由定理1,我们立即可得如下推论:推论1设A(z)是超越亚纯函数,其级为σ(A(z))<∞.假设方程(1)有两个线性无关的亚纯解f1,f2.令E=f1f2,如果σ(E)=∞,那么至少存在一条从原点出发的半直线L:argz=θ,使得λθ(E)=∞.推论2设A(z)是超越亚纯函数,其级为σ(A(z))<∞.假设f1,f2是方程(1)的两个线性无关的解,E=f1f2.如果σ(E)<∞,则max{λ(f1),λ(f2)}<∞.2.sisk—角域内的Nevanlinna理论我们的证明需要角域内的Nevanlinna理论,为方便见,先介绍角域内的Nevanlinna理论.设f(z)是一个亚纯函数,考虑射线L:argz=θ0和角域α=θ0-η≤argz≤θ0+η=β,0＜η＜π2.α=θ0−η≤argz≤θ0+η=β,0＜η＜π2.令k=πβ-α,当r>1时,定义Aαβ(r,f)=kπ∫r1(1tk-tkr2k){log+|f(teiα)|+log+|f(teiβ)|}dtt;Bαβ(r,f)=2kπrk∫βαlog+|f(teiα)|sink(θ-α)dθ;Cαβ(r,f)=2∑bv∈Δ(1|bv|k-|bv|kr2k)sink(βv-α),其中和式∑b∈Δ是对f(z)在扇型区域Δ:1<|z|<r,α<argz<β内的所有极点bv=|bv|eiθv求和,记重数,即几重极点加几次,否则,记为ˉCαβ(r,f).对于任意的a∈C,记Cαβ(r,a)=Cαβ(r,1f-a),和Cαβ(r,∞)=Cαβ(r,f).进一步定义Dαβ(r,f)=Aαβ(r,f)+Bαβ(r,f),Sαβ(r,f)=Cαβ(r,f)+Dαβ(r,f).为简单起见,在不引起混淆的前提下,我们分别用A(r,f),B(r,f),C(r,f),D(r,f),S(r,f)表示Aαβ(r,f),Bαβ(r,f),Cαβ(r,f),Dαβ(r,f),Sαβ(r,f).下面给出本文的第一个引理.引理1设f(z)是复平面上的亚纯函数,角域Ω(α,β)满足0<β-α≤2π.则(i)对于任意的a∈C,我们有S(r,1f-a)=S(r,f)+Ο(1),(2)其中r>1.(ii)对于任意的r<R,A(r,f′f)≤k{(Rr)k∫R1logΤ(t,f)t1+kdt+logrR-r+logRr+1},B(r,f′f)≤4krkm(r,f′f).引理1(i)称为S(r,f)的第一基本定理,对于S(r,f),我们还有如下形式第二基本定理,对于任意的aj∈C∞,j=1,2,…,q,成立(q-2)S(r,f)＜q∑j=1ˉC(r,aj)+h(r),其中h(r)=D(r,f′f)+∑1≤j≤q,aj≠∞D(r,f′f-aj)+Ο(1).由,当f(z)是无限级时,我们有h(r)=O(logrT(r,f)),至多除去一测度有限的集合F,因此,我们有(q-2)S(r,f)＜q∑j=1ˉC(r,aj)+Ο(logrΤ(r,f)),r∉F.(3)3.e的无限级borel方向定理3的证明文证明了方程(1)的任意非零亚纯解满足σ2(f)≤σ(A(z)).因此σ2(fi)≤σ(A(z)),i=1,2.对任意的θ∈R和充分小的ε>0,令R=2r,由引理1(ii)有,A(r,fi′fi)=Ο(∫2r1log+Τ(t,fi)t1+π2εdt)=Ο(∫2r1tσ(A)+1t1+π2εdt)=Ο(1),i=1,2.根据对数导数引理m(r,fi′fi)=Ο(log+Τ(2r,fi)+logr)=Ο(rσ(A)+1),i=1,2.(4)结合引理1(ii)和(4)式,得B(r,fi′fi)=Ο(rσ(A)+1-π2ε)=Ο(1),i=1,2.因此D(r,fi′fi)=Ο(1),i=1,2.(5)另一方面,由我们知道f1和f2的Wronskian行列式W是一个非零常数,记其为c≠0.又1E=WE1c=1cf2′f2-1cf1′f1,(6)结合(5),(6)两式可得D(r,1E)=Ο(1).(7)由式(2)和式(7)我们得到:对于任意的θ∈R和充分小的ε>0,在角域{z:θ-ε<argz<θ+ε}内,满足S(r,E)=C(r,1E)+Ο(1).(8)设L:argz=θ0是E的一条无限级Borel方向,下面证明,对任意的0<ε<π/2,在角域{z|θ0-ε<argz<θ0+ε}内,有limsupr→∞logS(r,E)logr=∞.(9)如若不然,则存在η(0<η<π/2),使得在角域{z|θ0-η<argz<θ0+η}内,有¯limr→∞logS(r,E)logr＜∞.对于任意的有限复数a,根据引理1(i),有S(r,1E-a)=S(r,E)+Ο(1).因为C(r,a)≤S(r,1E-a),所以C(r,a)≤S(r,1E-a)=S(r,E)+Ο(1).(10)另一方面,我们有C(2r,a)≥Cθ-η2,θ+η2(2r,a)≥2∑1＜|bv|＜r,θ-η2＜βv＜θ+η2(1|bv|k-|bv|k(2r)2k)sink(βv-θ+η2)≥2∑1＜|bv|＜r,θ-η3＜βv＜θ+η3(1|bv|k-|bv|k(2r)2k)sink(βv-θ+η2),其中k=πη.在扇形区域Δ:1＜|b|＜r,θ-η3＜βv＜θ+η3内,我们有0＜η6＜βv-θ+η2＜5η6＜π2.记n(t,θ,η3,a)=n(t),将上式写成Stieltjes积分的形式并分部积分得C(2r,a)≥∫r11tkdn(t)+1(2r)2k∫r1tkdn(t)+Ο(1)≥k∫r11tk+1dn(t)+n(r)rk-rkn(r)r2k+k(2r)2k∫r1tk-1dn(t)+Ο(1)≥n(r)rk-rkn(r)(2r)2k+Ο(1)≥(1-122k)n(r)rk+Ο(1).(11)因此,对于任意的有限复数a,由式(9)-(11),得limsupr→∞logn(r,θ,η3,a)logr＜∞.(12)这与L是E的无限级Borel方向矛盾.结合(8)和(19),我们知道在角域{z|θ0-ε<argz<θ0+ε}内,limsupr→∞logC(r,1E)logr=∞.(13)因为C(r,1E)≤2n(r,θ0,η,E=0),结合(13)式得λθ0(E)=∞.另一方面,假设L:argz=θ0满足λθ0(E)=∞.杨乐证明了L:argz=θ0是E的无限级Borel方向.定理3得证.