矩阵的秩的相关不等式的归纳小结

1、矩阵的秩的相关不等式的归纳小结 林 松 （学院数学系，）摘要：利用分块矩阵，证明一些矩阵的秩的相关不等式，观察矩阵在运算后秩的变化，归纳出常见的有关矩阵的秩的不等式，由此引出等式成立的条件。关键词：矩阵的秩，矩阵的初等变换引言：矩阵的秩是指矩阵中行（或列）向量组的秩，与之等价的说法通常是指矩阵中不为零的子式的最高阶数，是矩阵最重要的数字特征之一。利用分块矩阵，把子式看成元素，可将高阶矩阵的运算化为较低阶矩阵的运算，也为矩阵的秩的一些常见不等式的证明带来了方便。本文将讨论矩阵的秩的一些常见不等式，并由此引出一些秩的不等式等号成立的等价条件。一 基本的定理1 设A是数域P上矩阵，B是数域上矩阵，于

2、是 秩（AB）min 秩（A），秩（B），即乘积的秩不超过个因子的秩2 设A与B是矩阵，秩（AB）秩（A）+秩（B）二 常见的秩的不等式1 设A与B为n阶方阵，证明若AB = 0，则 r(A) + r(B) n证：设r(A) = r,r(B )= s,则由AB = 0，知，B的每一列向量都是以A为系数方阵的齐次线性方程组的解向量。当r = n时，由于该齐次方程组只要零解，故此时 B = 0，即此时r(A) = n，r(B) = 0,结论成立。当r n 时，该齐次线性方程组的基础解系中含n-r个向量，从而B的列向量组的秩n-r,即r（B） n-r所以 r(A) + r(B) n2设A为矩阵，B为

3、矩阵，证明不等式r(AB)r(A)+r(B)-n 证：设E为n阶单位矩阵， 为S阶单位方阵，则由于 而 可逆，故 r(A)+r(B) 秩 =秩 =秩 =r(AB)+r(E) =r(AB)+n从而r(AB) r(A) + r(B) - n 3设A，B都是n阶方阵，E是n阶单位方阵，证明 秩（AB-E）秩（A-E）+秩（B-E）证：因为故秩（AB-E）秩秩 =秩（A-E）+秩（B-E）因此 秩（AB-E）秩（A-E）+秩（B-E）4 设A，B，C依次为的矩阵，证明r(ABC) r(AB) + r(BC) - r(B)证：设 分别为，s,t阶单位矩阵，则由于 且是可逆矩阵，故 r(AB) + r(B

4、C)秩=秩=秩 = r(ABC) + r(B) 从而r(ABC) r(AB) + r(BC) - r(B)5 设A，B都是n阶矩阵，证明；r( A B + A + B ) r( A ) + r ( B )证明：r( AB + A + B)=r( A (B+E) + B) 利用基本定理二r( A (B + E) + r(B) 利用基本定理一 r( A ) + r( B )6 设A，C均为矩阵，B，D均为矩阵，证明 r（ A B C D） r（ A-C） + r（ B - D） 证明：根据分块矩阵的乘法可知 = 由此易知r（A-C）+r（B-D）=rr(AB-CD) 从而得r（AB-CD） r（A

5、-C） + r（B-D）三 不等式等号成立的探讨 1 设A，B分别为和矩阵，则的充分条件为： 证明：由得：2 设A，B分别为和矩阵，则的充分必要条件为存在矩阵X、Y，使得证明：根据题三 1，只需要证明当 时， （1） （2） 对式（2）右端的方阵作行初等变换，可消去，由于式（1），式（2）右端方阵秩相等，故在消去，时也消去了，对式（2）右端分块记为 其中=， =， C=于是上述消去的行变换相当于 消去其余有类似的结果，这样初等变换就相当于存在矩阵S，T，使=+=，即从而有令得 3 设 A，B，分别为 矩阵，而B的一个满秩分解是B=HL，即H是列满秩矩阵，L是行满秩矩阵，则r(ABC)=r(AB

6、)+r(BC)-r(B)的充要条件是存在矩阵X，Y使得证明：设r（B）=r，因为B=HL 是满秩分解所以 有r(AB) = r(AHL) = r(AH) r(BC) = r(HLC) = r(LC) 则r(ABC) = r(AB) + r(BC) - r(B) r(AHLC) = r(AH) + r(LC) - r又由上题 得r(AHLC) = r(AH) + r(LC) - r矩阵X,Y 使得 所以 3得证4 设A为n阶矩阵，证明如果 = E，那么r（ A + E ） + r（ A E ）= n 证明： ( A + E )( A E ) = + A A E = E E = 0 r（ A +

7、E ）+ r（ A E ） n r( A + E ) + r( A E ) r( A + E + A - E) = r(2A) = r(A) = E = E，即 0 r（A）= n r( A + E) + r( A - E) n 故 r（ A + E ）+ r( A - E) = n 5 设A为n阶矩阵，且 = A，证明 r（A）+ r（A-E）= n 证明：由 = A，可得 A（ A E ）= 0 由题一 1知，r（ A ） + r（ A - E） n 又因为 E-A和A-E 有相同的秩 n = r( E ) = r( A + E A ) r ( A ) + r ( E A ) 从而 r(

8、A ) + r( A E ) = n6 设A是阶矩阵，则 = A的充分必要条件是r（A）= r（A-）+ r（A+）证明： 必要性 一方面，由 = A（E-A）A（E+A）=0 由题二 4知 0 r（E-A）A + r A (E+A) - r(A) 即r（A） r（A-）+r（A+） 另一方面，由r（A-）+r（A+）r（A-）+（A+） = r（2A）= r（A） 所以 r（A）= r（A-）+ r（A+） 充分性 若r（A）= r（A-）+r（A+） 设r(A) = r,A的满秩分解是A = HL，则存在 X，Y 使（2X）H =，L（2Y）= 成立 则 X（E-A）H +L（E-A）Y=（XH + LY）-（XHLH - LHLY）= -0 = 由题三3得 r（E-A）A(E+A)=r(E-A) A + rA (E+A)- r(A) = 0 即得（E-A）A（E+A）=0 从而得 = A参考文献：1 禾瑞 .高等代数（第二版）M.高等教育2 子胥.高等代数习题解M.科技3 师正.高等代数解题方法与技巧M.高等教育