微专题之等和线(共3页)

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1、精选优质文档-----倾情为你奉上 微专题之平面向量基本定理系数的等和线 【适用题型】在平面向量基本定理的表达式中，研究两系数的和差及线性表达式的范围与最值。 【基本定理】 （一） 平面向量共线定理 已知，若，则三点共线；反之亦然 （二） 等和线 平面内一组基底及任一向量，，若点在直线上或者在平行于的直线上，则（定值），反之也成立，我们把直线以及与直线平行的直线称为等和线。 （1） 当等和线恰为直线时，； （2） 当等和线在点和直线之间时，； （3） 当直线在点和等和线之间时，； （4） 当等和线过点时，； （5） 若两等和线关于点对称，则定值互为相反数；

2、【解题步骤及说明】 1、 确定等值线为1的线；2 2、 平移（旋转或伸缩）该线，结合动点的可行域，分析何处取得最大值和最小值； 3、 从长度比或者点的位置两个角度，计算最大值和最小值； 说明：平面向量共线定理的表达式中的三个向量的起点务必一致，若不一致，本着少数服从多数的原则，优先平移固定的向量；若需要研究的两系数的线性关系，则需要通过变换基底向量，使得需要研究的代数式为基底的系数和。 【典型例题】 例1、 给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角 为，如图所示，点在以为圆心的圆弧上变动。 若，其中，则的最大值 是__________。 跟踪练习：已知为的外心，

3、若，，则的最大值为_______ 例2、在平面直角坐标系中，为坐标原点，两定点满足，则点集所表示的区域面积为__________________. 例3、如图，在扇形中，，为弧上不与重合的一个动点， ，若 存在最大值，则的取值范围为__________. 跟踪练习：在正方形中，为中点，为以为直径的半圆弧上任意一点， 设，则的最小值为_____________. 【强化训练】 1、在正六边形中，是三角形内（包括边界）的动点，设，则 的取值范围__________. 2、如图，在平行四边形

4、中，为边的三等份点，为的交点，为边上的一动点，为内一点（含边界），若，则的取值范围__________. 3、设分别是的边，上的点，，，若 （为实数），则的值为_____________. 4、梯形中，，，，为三角形内一点（包括边界），，则的取值范围__________. 5、已知，，点在内，且，设，则的值为____________. 6、在正方形中，为中点，为以为圆心，为半径的圆弧上的任意一点，设，则的最小值为_____________. 7、已知，为实数）。若为以为直角顶点的直角三角形，则 取值的集合为_______。 8、平面内有三个向量，其中夹角为，的夹角为，且， ，若，则的值为____________________。 9、如图，是圆上的三点，的延长线与线段的延长线交于圆外的点，若，则的取值范围为___________。 10、已知为的外心，若，，且，则=________. 11、已知是两个互相垂直的单位向量，且，则对任意的正实数，的最小值为_______________. 专心---专注---专业