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二重积分换元权威发布_二重积分经典例题(2024年11月精准访谈)

内容来源：冲顶技术团队所属栏目：观点更新日期：2024-11-27

二重积分换元

二重积分与三重积分交换次序的方法 ### 二重积分交换次序的方法 𐟓Š 交换积分次序在二重积分的计算中，交换积分次序是一个常见的技巧。简单来说，就是将一个变量作为主变量，另一个变量作为次变量。例如，原本的积分顺序是先对x积分，再对y积分，交换后就是先对y积分，再对x积分。极坐标换元极坐标换元也是一种常用的方法。通过将直角坐标系中的x和y转换为极坐标系中的r和𜌥碌姮€化计算过程。例如，原本的积分区域可能是一个圆形区域，通过极坐标换元后，可以更容易地计算积分。一般换元法对于一些复杂的积分区域，一般换元法可能更为适用。通过引入新的变量，将复杂的积分区域转化为简单的积分区域，从而简化计算。例如，原本的积分区域可能是一个不规则的多边形区域，通过换元后，可以转化为一个规则的矩形区域。二重积分对称性利用二重积分的对称性，可以进一步简化计算。如果积分区域关于某个轴对称，那么可以利用对称性来简化计算。例如，原本需要对两个对称的区域进行积分，通过利用对称性，只需要对其中一个区域进行积分即可。三重积分的交换次序 𐟌 计算公式三重积分的计算公式与二重积分类似，只是多了一个变量。在计算时，可以先对一个变量进行积分，再对另一个变量进行积分，最后对第三个变量进行积分。例如，原本的积分顺序是先对x积分，再对y积分，最后对z积分。柱坐标和球坐标在三重积分的计算中，柱坐标和球坐标是一种常用的换元方法。通过将直角坐标系中的x、y和z转换为柱坐标系中的r、’Œz，或者球坐标系中的r、’Œ𜌥碌姮€化计算过程。例如，原本的积分区域可能是一个圆柱形区域或球形区域，通过柱坐标或球坐标换元后，可以更容易地计算积分。对称性利用三重积分的对称性也可以简化计算。如果积分区域关于某个轴对称，那么可以利用对称性来简化计算。例如，原本需要对两个对称的区域进行积分，通过利用对称性，只需要对其中一个区域进行积分即可。总结 𐟓 无论是二重积分还是三重积分，交换积分次序都是一个非常重要的技巧。通过合理地选择换元方法和利用对称性，可以大大简化计算过程。希望这些方法能帮助你在数学竞赛中取得好成绩！

rt 这一步怎么换啊

这个二重积分换元后新的积分区域Duv怎么画啊？搞不懂睡不着

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李林数三2023第四套复盘：最难过的一集 1. 𐟓ˆ一点很强是推不出区间的，但可以利用一阶导函数极限的保号性来推邻域。 𐟔搞了个特殊函数，结果没做对。 𐟓š积累题。 𐟧™里需要转化成一元极值来判断，B^2-AC判断不出来是因为大小未知，属于积累题。 𐟔„简单题。 𐟧Ž面那个跟1/n比较就好了，讨论一下p能不能取0。 𐟧𝨌ƒ德蒙德行列式的转置，然后罗尔。 𐟧†后面的配方，看正负惯性指数，2正一负，那么A行列式肯定是负的，a小于0。 𐟓ˆ结论，108上面有，直接想正态分布，a就是u。 𐟧‡准化就行了。 𐟧š积分定义，用敌进我退换元用错了，麻了。 𐟧函数求导，后面那个f（0）肯定是0的不然怎么凑导数定义。 𐟧𔦎姧賂†发现变成二重积分，然后重新定上下限。 𐟧知道，看答案吧。 𐟧𔦎娮𞁽E，然后求A伴随和B伴随，发现其实也是单位阵。 𐟧™到烂了。 𐟧‚导，然后代入-x，解出f（x），后面的就是常规操作。 𐟧—错，要用对称性消掉一部分，忘记了，真是服了。 𐟧줸€问分部，第二问设出来，没做。 𐟧€单题了。求出之后换元然后点火。 𐟧€单题。后面那个东西就是说明他是个正定阵，然后和单位阵合同。 𐟧€单题，这题可以一眼看出z是正太。

湖南专升本数学143分备考攻略！ 𐟓š 打好基础对于大多数零基础的同学来说，首先要巩固高中数学的基础知识。比如平方差公式、立方差公式、常见的乘除约分运算、指数函数运算、三角函数以及常见函数图像等。 𐟒ᠥš题技巧别钻牛角尖！任何题型都不要想得太复杂，答案往往在题干中很明显。如果想到自己以前做过类似的题型，就用相同的解题方法做题。先把24年的统考真题做三遍，很多知识点都是相通的，通过做题找到自己的薄弱点。高数必考的函数有：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数（背熟背烂！）。求极限的题型：0:0型、∞:∞型等价无穷小还是抓大头，1的∞型第二重要极限。不定积分的方法：根式换元、分部积分、凑微分法。二重积分的题型：面积、体积、极坐标等。无穷级数的样式：正向级数、交错级数、任意项级数、幂级数，不同级数不同符号样式。 𐟓 备考方法预习：课前预习很重要，先了解本节课的内容和重难点，这样上课听更有侧重点。背公式：公式、定理、相应例题非常重要。很多题做不出来是因为找不到切入点，只有掌握例题的题眼——公式间的联系，做题才会更轻松。听课：听课不要放在技巧上，主要是学思路，因为不是所有题都能让你“秒杀”。刷题：基础课听完就该刷题了，直接刷模拟题，后期每天一套卷，抓自己的薄弱点和优势。错题要及时整理，每周考点尽量当天解决。 𐟒– 备考心得基础薄弱的题型就往死里刷，基础不牢固别上去就刷套卷。后期每周计时模拟一套卷，严格按照考场时间来，做完要对答案修改和复盘，把错题捋顺。每天10极限+10求导+10积分题保持手感，不要做太难太偏的题，找些基础题训练计算能力和速度就好。一定要给自己进步的过程，一轮做基础题，二轮上难度，三轮抓难题和技巧，把每一步走稳走扎实！

25超越8 数二噩梦般的体验最后做超越八，最后做超越八，最后做超越八！！！！！远离超越八，放到最后一套做吧，这套这难度和计算量真不是人做的，做完感觉是打击信心的卷子，不知道的还以为这是李艳芳三套卷呢，这计算量纯纯逆天，根本答不完，这套用了三个半小时，选填还好，用了一个半小时，这大题用了两个小时，最后写不下去了。多答这半小时基本都花在线代上面了，结果还错了，哈哈第1题就给我难住了，思考了一会应该是把cos从分子提出来然后括号内用f-1等价于lnf化成ln，这么做还是挺简单的第2题求四阶导，一直求第4题把第一个反常积分分部积分，然后用比较审敛法就可以了。第5题最开始没看明白，最后我把x+2y和y/x给换元成uv硬算的，第6题二重积分的积分中值定理或者可以把Fa求出来，这俩结果都是0 第7题画图，或者fx=ex次幂第8题这道题需要用到很多秩的结论，我觉得需要记的就是P列满秩，则PA与A秩相同第9题跟前面几套的一道很像，先把p行列式乘进去，最后再除以p行列式第10题这题真是太有花样了，其实1和4这俩是等价的，把1中余子式都化成代数余子式，发现这些代数余子式在矩阵A里对应的位置是-1 1 -1 1，正好加起来是0，依然满足题目条件的A有0特征值，4条件跟1一样，移项一下就变成1条件了。 11题没啥说的 12题把(x+1)ex次幂看成一个整体直接分部积分。 13题纯计算，恶心人 15题不会，算的根本算不对，看了答案是用了全微分形式不变，这块我没看 16就是把条件都翻译明白就可以了。 17题恶心题来了，反函数求极限这种题下次直接扣我分就好了，何必浪费我20分钟呢 18题这题是给人算的啊，最后那个积分有点难想，上下同除ex次幂，计算量也不小。 19题计算量也大没啥好说的，一算一个不吱声 20题好眼熟，感觉这个凑微分我做过，不记得是哪套卷子上的了。 21题不难，我最开始还构造错了辅助函数，写了半篇都白写了，这题比前面简单多了。 22题把卷子给他撕喽，不做了，不会。强烈建议大家最后做这套，太恶心了！！！不想学数学了，晚上学物理[生气R][生气R]

复盘总结：数学之旅的点滴收获𐟓š 这次的数学考试真是让我又爱又恨。第一套试卷的计算量简直大到吓人，花了105分钟才搞定选择题和填空题，真是让人心累𐟘𕣀‚ 选择题和填空题复盘 T1：这道题是18讲上的原题，武神的强化讲义上也有，真是经典中的经典。 T2：常规题，我喜欢用泰勒公式求几个导数，简单粗暴，效率高。 T3：定积分定义题，刚开始做的时候被这形式唬住了，后来发现其实不难。 T4：条件极值题，用了拉格朗日乘数法，但还是咋子哥的化参数方程方法更好算。 T5：分段求积分加上点火公式，这道题算是比较常规的。 T6：构造函数不好想，直接用特殊函数法搞定！ T7：物理应用题，涉及相关变化率，这类题真是让人又爱又恨。 T8：特征多项式题，𐟐™上课重点讲了，这道题算是送分题。 T9：这道题答案看不懂，可以用代数方法做，取一个标准单位向量（特殊化），代选项即可。 T10：九讲结论题，书上有证明，这道题算是比较简单的。 T11：这道题算了快十分钟，真是让人抓狂！ T12：算的时候抄错上限了，真是焯！ T13：分部积分更好算，这道题算是比较常规的。 T14：换元法，做平移变换，线性方程的中心化，这部分𐟐™课上花了大量时间来讲。 T15：十八讲改编题，有两道原题，三种方法（两种换元+一个多元微分）。 T16：常规题，喜欢展开法，感觉逆序数法用的不安心。 T17：一千题中值定理那章的两个原题改编，算的时候有个小技巧：分子e的x次方较多，同除e的x次方（恒正），分子再求导可以简化运算。 T18：宇的怜悯，这道题真是让人心疼。 T19：好题！第一问懒得算五个偏导数，可以反解x.y求两个偏导然后系数成比例即可，武神强化课上有讲这种方法。第二问想了会没想出来，本来想最后再做，写完线代之后发现到点了。 T20：一千题二重积分基础篇最后一题的第一问改编，一千题那个比这个更难一点。 T21：看到数字要敏感，看到数字24感觉大概率是矩形近似法，一写果然。 T22：若尔当标准型，线代九讲上有两三个类似的例题，二阶用待定系数法，三阶构造列向量用方程组的思想来做。明天要攻克一下薄弱点，写一章多元函数微分𐟒ꣀ‚这次的数学之旅虽然有些坎坷，但收获满满，期待下次能更上一层楼！

当我专升本高数高分上岸后，发现... 我把高数重点整理出来后发现其实也没多少内容，并且一大部分都是套公式题，基础不好的不用担心，专升本的高数和高中数学基本没什么关系，当一个新起点认真开始学就好啦~ - 1⃣选择考点一般是定义域、极限、间断点、连续、导数、定积分、微分方程等（选择比较简单，把基础的概念定理学好就没啥问题） 2⃣填空考点一般是极值、最值、求导、不定积分等（选择没考到的基础知识点填空就会出，最后一题会比前面的题略难） 3⃣计算考点一般是极限、求导、不定积分、定积分、微分方程、多元微分、二重积分（计算都是有套路的，多刷题总结，其实本质都是分部、换元、凑分等） 4⃣证明题一般就是罗尔定理、拉格朗日定理、中值定理、零点定理 - ❣基础阶段这个阶段要对考试内容有一个大概的框架，就是看到题目要知道它出的是哪一部分的知识点，高途专升本每一章讲完都会有一个章节总结，对框架的建立很有用，还有一些帮助记公式的口诀，不要自己另外找题做，老师课上讲的题和教材后面的课后题，一直反复刷，并且能够灵活运用 ❣刷题阶段先分题型刷题训练，刚开始刷题不要太注重正确率，以掌握知识点为主，做的多了见到题就知道想考什么，也就有做题思路了，不会的多看答案，从答案中得出类似这种思考逻辑和思路，然后再去课本中找对应的知识点学 ❣冲刺阶段考前冲刺串一遍公式和知识点，再做套卷查漏补缺，这个阶段的错题很关键，一定不要放过！刷题不要翻书看笔记独立思考，这样才能检测出来哪块掌握的不牢，进五年的真题卷多做几遍，很多知识点都是相通的！ - ✅备考建议 1、其实高数不难，大部分题套公式就能出来，考的就是你的计算耐心程度，遇到大量计算题不要烦躁！ 2、学过的公式多背多巩固，睡之前背/默写公式 3、会写但经常计算错误的可以在草稿纸上写慢一点，把过程按顺序全部列出来，然后盖住答案重算一遍，找出错误所在 4、错题本可以准备两个，一个用来记错题，一个用来二刷错题！ 5、错题本不要写偏难的题、不要写因为粗心错的题，总结经典的题型和对应的知识点，汇总到错题本上 6、做的历年真题分数和目标院校做对比，能超出20分左右，基本就稳了 𐟒릈‘刚开始复习的时候不知道该怎么学，后来在高途专升本学习几个月后，茅塞顿开，感觉没有那么难了𐟘ƒ那里的老师讲课很专业，不仅通俗易懂，还幽默风趣，真的是在快乐中学习哦~#专升本##高途教育#