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勒贝格测度前沿信息_测度论(2024年11月实时热点)

内容来源：冲顶技术团队所属栏目：教程更新日期：2024-11-28

勒贝格测度

今天再谈谈分析数学中的同一性问题！自从上世纪三十年代数学中的测度论与勒贝格积分建立起来，以及关于测度的积分建立起来以后，两个实数空间上面的定义的实可测函数如果关于相对应的测度，例如勒贝格测度，是几乎处处相等，即这两个函数不相等的集合的测度值为0，则这两个函数就被视为同一个函数！

金融数学名词大集合：从基础到进阶今天我们来探索一些金融数学中的基础名词，从最基础的测度开始，像报菜名一样一一列出：外测度 𐟓 可测集 𐟓 可测函数 𐟓ˆ 勒贝格可测 𐟓Š 勒贝格测度 𐟓 Borel可测 𐟓 一致收敛 𐟔„ p方收敛 𐟓ˆ 几乎处处收敛 𐟓Š 依测度收敛 𐟓 依分布收敛 𐟓 勒贝格积分 𐟓ˆ 黎曼积分 𐟓Š 简单函数 𐟓 非负函数 𐟓 一般可测函数 𐟓ˆ 零测集 𐟓Š sigma域 𐟓 乘积sigma域 𐟓 截口 𐟓ˆ Fubini定理 𐟓Š 有界变差函数 𐟓 Lipschitz连续 𐟓 绝对连续性 𐟓ˆ 几乎处处有界 𐟓Š L1可积 𐟓 Lp可积 𐟓 Stieljes积分 𐟓ˆ 条件期望 𐟓Š Jensen不等式 𐟓 随机过程 𐟓 适应过程 𐟓ˆ 可测过程 𐟓Š 可料过程 𐟓 可选过程 𐟓 循序过程 𐟓ˆ 一致可积 𐟓Š 今天我们就先介绍这些名词，下次我们继续探索更多有趣的概念。

今天谈一下概率论与统计学中的随机变量的数学期望的科学性，统一性，一致性和存在唯一性问题！关于一个随机变量的数学期望的定义总共有五种定义：没Y是一个随机变量，第一种定义是：㗥…𓤺ŽY的分布函数F（㗯𜉧š„勒贝格斯蒂阶斯积分所定义的Y的数学期望；第二种定义是㗥…𓤺Ž由F（㗯𜉤𚧧”Ÿ的测度的积分所定义的Y的数学期望；以上二种方法定义出来的Y的数学期望的存在性是等价的；原因是第二种方法定义出来的数学期望如果存在，则显然第一种方法定义出来的数学期望也存在，即㗥…𓤺ŽF（㗯𜉤𚧧”Ÿ的测度的积分存在一定可以推出x关于F（x）的勒贝格斯蒂阶斯积分存在，且都唯一，进一步两个积分值一定是相等的！第三种定义是Y关于其定义于概率空间上面的概率测度的积分；显然由测度论中积分测度变换所知：第二种方法定义出来的数学期望的存在性与第三种方法定义出来的数学期望的存在性是完全等价的，这两个积分其实是同一个积分；第四种定义是关于连续型随机变量的数学期望的定义，它是x乘以Y的概率密度函数关于通常的实直线上的勒贝格测度的积分所定义；又显然第四种数学期望的定义和第二种数学期望的定义当Y是连续型随机变量时，由测度论中的积分变换可知它们是同一个定义；第五种数学期望的定义是关于离散型随机变量，由对其概率分布律而建立起来的级数求和所定义，关于这个随机变量的数学期望的存在的定义其实是和第四种方法定义是等价一致的，我们己有专门的论文阐述！综上所述，关于一个随机变量Y的数学期望的五种定义是统一的，一致的，其中任何一个定义定义出来的数学期望如果存在，则其它定义定义出来的数学期望也存在，而且数学期望值是相等的！进一步，一个随机变量的数学期望存在，则一定是唯一的，且这个随机变量的绝对值的数学期望也存在！

𐟎悧Ž‡论中的新奇发现：不可测集合的构造在概率论的探索中，我发现了一个令人困惑的现象。今晚的测验中，我尝试通过举反例来解答一道题目，但却未能成功。𐟘䠤𚎦˜ﯼŒ我决心在红书上深入挖掘，终于找到了一个令人耳目一新的例子。 𐟔 这个例子是关于在(0,1)区间上构造一个勒贝格测度无法测量的集合。这个集合被称为Vitali集合，它的构造方式相当巧妙。首先，我们取所有不同的平移集合C，然后在每个元素（集合）中选取一个单元素，合成一个新的集合Q。接着，我们用有理数集[-1,1]来平移Q。最终，我们发现这个构造出来的“蛇皮”集合是不可测的，这与我们的直觉相矛盾。 𐟓š 深入了解后，我发现构造一个勒贝格不可测的集合是非常困难的。如果你有其他方法或发现，欢迎分享你的见解！#概率论 #Stat #PhD #统计学笔记 #统计学知识点

经典之作：《测度论，概率和随机过程》 ✨𐟓š【数学殿堂的璀璨明珠《测度论，概率论与随机过程》】 𐟌Ÿ你是否曾对数学中那些抽象而深奥的概念感到迷茫？是否渴望找到一把钥匙，打开测度论、概率论与随机过程的大门？那么，Jean-Fran㧯is Le Gall教授的这本著作，绝对是你的不二之选！𐟑‘ 𐟓–《Measure Theory, Probability, and Stochastic Processes》不仅仅是一本书，它更像是一位智慧导师，引领你穿梭于数学的奇妙世界。Le Gall教授以其深厚的学术功底，将复杂的数学理论拆解得丝丝入扣，让你在轻松愉快的阅读中，不知不觉间掌握了这些看似遥不可及的知识。𐟑袀𐟏늊𐟓ˆ从测度的基本概念到勒贝格积分，从概率空间到随机变量，再从马尔可夫链到布朗运动，Le Gall教授以清晰的逻辑和生动的案例，为你搭建起一座座知识的桥梁。你不再需要面对枯燥的公式和定理，因为书中的每一个概念都被赋予了鲜活的生命。𐟌ˆ 𐟔特别值得一提的是，这本书不仅仅停留在理论层面，更注重理论与实践的结合。Le Gall教授通过引入大量实际案例和最新研究成果，让你在学习的同时，也能感受到这些理论在现代科技、金融工程等领域的广泛应用。这种前瞻性的视角，无疑为你的学习之旅增添了更多的色彩和动力。𐟚€ 𐟒ᨀŒ且，书中的习题设计得既巧妙又全面，既能够帮助你巩固所学知识，又能够激发你的思考和探索欲。完成这些习题，你将会发现自己的数学素养得到了质的飞跃！𐟒ꊊ𐟓š总之，《Measure Theory, Probability, and Stochastic Processes》是一本值得你反复品读的经典之作。它不仅能够帮助你打下坚实的数学基础，更能够引领你走向更广阔的学术天地。快来一起加入这场数学之旅吧，相信你一定会有意想不到的收获！𐟎‰

LSE和UZH数学营对比：你更适合哪个？去年在LSE上了EC400（以下简称A），上周刚考完UZH的introductory math（以下简称B），来分享一下我的感受吧。课程对象 𐟎“ A：这门课是经济学和商科博士的必修课，对一些和经济相关的硕士也是必修（EME除外），理论上对所有硕士项目都可选。 B：只对经济学PhD必修，对经济学和商科的master是可选。微观部分 𐟔슁和B都涵盖了最优化和Correspondence两部分。A在最优化部分有一些比较严格的证明，比如拉格朗日乘数定理。B在这两部分之前有一大块实分析基础，包括集合论、关系、序、数列等等。AB的Correspondence部分差异不大，主要介绍定义、upper-/lower-hemicontinuity、角谷不动点和Berge极大值定理。宏观部分 𐟓ˆ A：理论方面，课件上有principle of optimality和压缩映射，但上课时都跳过了。 B：花了很长时间讲principle of optimality的条件和证明，以及用压缩映射来支持value function iteration和求value function的性质。应用方面，两个课程基本上差不多，都是解贝尔曼方程和HJB、线性化、guess&verify，不过A多了画phase diagram，B多了value function iteration。计量部分 𐟓Š A：基本上是国内本科非数专的概率统计内容，不展开讲了。 B：主要是基于测度论的概率论，讲了初步的测度论和勒贝格积分，后面在这个基础上讲条件概率和独立。小贴士 𐟒ነS：写的时候一直在思考hemicontinuity应该翻译成半连续，但又想到还有semicontinuity这个东西。有没有人知道这两个的正确翻译应该是啥？后面还想到啥再补充吧！

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